Question

На тонкое проволочное кольцо радиусом R натянута мыльная пленка массой 1 грамм, коэффициент поверхностного натяжения 40 мН/м, если в центре мыльной пленки сделать прокол, то спустя некоторое время настает ее схлопывание, какая часть энергии пленки при этом перейдет в кинетическую энергию движения жидкости пленки?

Answer 1

Ответ:

1/2

Объяснение:

Рассмотрим некоторый момент времени, пока пленка еще не схлопнулась полностью (см. рисунок). Сила поверхностного натяжения равна:

$\displaystyle F=2\sigma L=4\pi \sigma x$

Жидкость, содержащаяся в пленке, собирается в кольцо масса которого равна массе жидкости в объеме образовавшейся "дырки":

$\displaystyle m=m_0\frac{x^2}{R^2}$

Запас энергии, которой обладает пленка, равна работе сил поверхностного натяжения на всем их пути:

$\displaystyle W=\int\limits^R_0 {4\pi\sigma x } \, dx =2\pi \sigma R^2$

Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:

$\displaystyle (mv)'=F$

$\displaystyle (m_0\frac{x^2}{R^2} v)'=F$

Раскроем производную из левой части выражения по правилу дифференцирования произведения и сложной функции:

$\displaystyle \frac{m_0}{R^2}(x^2v)'=\frac{m_0}{R^2}(2xv^2+x^2a)$

Таким образом:

$\displaystyle \frac{m_0}{R^2}(2xv^2+x^2a)=4\pi \sigma x$

Или

$\displaystyle v^2+\frac{1}{2}xa=\frac{2\pi \sigma R^2}{m_0}$

Продифференцируем его еще раз, учитывая, что производная константы есть ноль:

$\displaystyle 2va+\frac{1}{2}va+\frac{1}{2}xa'=0$

$\displaystyle 2.5va+\frac{1}{2}xa'=0$

Если а=const, то a'=0, однако v≠0 и равенство не выполняется, если v=const, то a=0 и a'=0 и равенство выполняется, таким образом пленка должна двигаться равномерно, с ускорением а=0, уравнение ее движения принимает вид:

$\displaystyle v^2=\frac{2\pi \sigma R^2}{m_0}$

Откуда, кинетическая энергия пленки к концу схлопывания:

$\displaystyle W_k=\frac{m_0}{2}\frac{2\pi \sigma R^}{m_0}=\pi \sigma R^2$

Отношение кинетической энергии к полной:

$\displaystyle \frac{W_k}{W}=\frac{\pi \sigma R^2}{2\pi \sigma R^2} =\frac{1}{2}$

Таким образом, только половина полной энергии перейдет в кинетическую.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связывающие поверхностное натяжение с энергией пленки.

Энергия, необходимая для создания пленки, равна произведению поверхностного натяжения (σ) на площадь пленки (A):

E = σA

Площадь пленки можно найти, зная радиус кольца (R) и коэффициент поверхностного натяжения (σ):

A = 2πRl

где l - длина пленки. Для кольца l = 2πR, поскольку длина окружности равна 2πR.

A = 2πR(2πR) = 4π²R²

Теперь мы можем выразить энергию пленки через радиус кольца:

E = σ(4π²R²)

При проколе пленки энергия пленки будет переходить в кинетическую энергию движения жидкости. Если мы предположим, что всю энергию пленки переходит в кинетическую энергию, то можно записать уравнение:

E = (1/2)mv²

где m - масса пленки, v - скорость движения жидкости пленки.

Мы знаем массу пленки (m = 1 г = 0.001 кг), поэтому можем решить уравнение относительно v:

σ(4π²R²) = (1/2)mv²

v² = 8σπ²R²/m

v = sqrt(8σπ²R²/m)

Теперь, зная скорость движения жидкости пленки, можем найти часть энергии пленки, перешедшую в кинетическую энергию:

Кинетическая энергия = (1/2)mv²

Часть энергии пленки, перешедшая в кинетическую энергию, будет равна:

Часть энергии = (1/2)mv² / E

Подставим известные значения:

m = 0.001 кг v = sqrt(8 * 0.04 * 3.14² * R² / 0.001) E = 0.04 * 4 * 3.14² * R²

Часть энергии = (1/2) * 0.001 * (sqrt(8 * 0.04 * 3.14² * R² / 0.001))² / (0.04 * 4 * 3.14² * R²)

Часть энергии = 1 / (64 * R²)

Таким образом, часть энергии пленки, перешедшая в кинетическую энергию движения жидкости пленки, равна 1 / (64 * R²).