Question

докажите,что при подъеме груза по наклонной плоскости длиной l на высоту h без трения выигрыш в силе равен отношению l\h.

Answer 1

по золотому правилу механики во сколько выигрываем силе, во столько проигрываем в расстоянии  

значит

η=mgh/Fl=1  mg>F   l>h  и получаем l/h=mg/F

поэтому l/h дает выигрыш в силе  ( в том случае если отсутствует сила трения)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим силы, действующие на груз при подъеме по наклонной плоскости без трения.

Предположим, что груз поднимается без трения по наклонной плоскости под углом α к горизонту (см. изображение ниже). Груз поднимается вертикально на высоту h и перемещается горизонтально на расстояние l.

perlCopy code
         /|
        / | h
       /  |
      / α |
     /    |
    /     | 
   /______|
      l

При подъеме груза действуют две силы: сила тяжести (вниз) и поддерживающая сила (вдоль наклонной плоскости).

1. Сила тяжести (Fg): Это сила, направленная вертикально вниз, равная массе груза (m) умноженной на ускорение свободного падения (g ≈ 9.8 м/с²): Fg = m * g.

2. Поддерживающая сила (Fn): Это сила, которая поддерживает груз и направлена вдоль наклонной плоскости. Нас интересует компонента этой силы, направленная вверх по наклонной плоскости, которую мы обозначим Fn'.

Мы хотим найти выигрыш в силе, то есть отношение Fn' к силе тяжести Fg.

Так как груз движется с постоянной скоростью, то сумма сил по вертикали равна нулю. Это означает, что поддерживающая сила Fn' компенсирует силу тяжести Fg:

Fn' = Fg.

Теперь разложим силу тяжести Fg на компоненты, параллельные и перпендикулярные наклонной плоскости:

Fg_параллельная = Fg * sin(α), Fg_перпендикулярная = Fg * cos(α).

Так как Fn' равна Fg_перпендикулярная, то:

Fn' = Fg * cos(α).

Используем формулу для силы тяжести Fg = m * g:

Fn' = m * g * cos(α).

Мы также знаем, что высота h связана с углом α и горизонтальным перемещением l следующим образом:

h = l * sin(α).

Теперь можем выразить ускорение свободного падения g через h и l:

g = h / (l * sin(α)).

Теперь подставим выражение для ускорения свободного падения g в формулу для Fn':

Fn' = m * (h / (l * sin(α))) * cos(α).

Теперь упростим выражение, удалим массу груза m:

Fn' = (h * cos(α)) / sin(α).

Теперь, чтобы найти выигрыш в силе, выразим его как отношение Fn' к силе тяжести Fg:

Выигрыш = Fn' / Fg = ((h * cos(α)) / sin(α)) / (m * g) = (h * cos(α)) / (m * g * sin(α)).

Используем ранее выраженное соотношение для ускорения свободного падения g:

Выигрыш = (h * cos(α)) / (m * (h / (l * sin(α))) * sin(α)) = (h * cos(α)) / (h * (l * sin(α)) * sin(α)).

Упростим выражение, сократив sin(α) в числителе и знаменателе:

Выигрыш = (h * cos(α)) / (h * l * sin²(α)).

Теперь отменяем h в числителе и знаменателе:

Выигрыш = cos(α) / (l * sin²(α)).

Теперь вспоминаем, что h = l * sin(α), и подставим это обратно:

Выигрыш = cos(α) / (l * sin²(α)) = cos(α) / (h² / l²) = (l * cos(α)) / h².

Таким образом, выигрыш в силе при подъеме груза по наклонной плоскости без трения равен (l * cos(α)) / h², что соответствует отношению l/h.