Question

3. Тело массой 1000 г совершает гармонические колебания согласно уравнению х=100 sin20t (см). Определить максимальную кинетическую и полную механическую энергии колеблющегося тела.

Answer 1

Кинетическая энергия:

$E_k = \frac{m(x')^2}{2} = \frac{m A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t}{2}$, принимает максимальное значение, когда cos...=1

Ek=1* (1)² 20²/2 = 200 Дж

Полная энергия:

$E=E_k+E_p = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \sin^2 \omega t = mA^2 \omega^2 = 2E_{k max}$

E = 400 Дж

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Запишем уравнение колебаний :

x = Xmax·sin ωt

1)

Потенциальная энергия:

Ep = m·g·Xmax = 1·10·1 = 10 Дж

2)

Максимальная скорость:

Vmax = ω·Xmax = 20·1 = 20 м/с

Кинетическая энергия:

Eк = m·Vmax²/2 = 1·20²/2 = 200 Дж

Answer 3

Для определения максимальной кинетической и полной механической энергии колеблющегося тела, нам потребуется учитывать две формы энергии: кинетическую (связанную с движением) и потенциальную (связанную с положением). Для начала определим максимальную кинетическую энергию.

Данное уравнение описывает гармонические колебания вида: x = A * sin(ωt), где A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота, t - время.

У нас дано: x = 100 * sin(20t) (см).

Поскольку амплитуда колебаний (А) не указана явно, давайте предположим, что А = 100 см.

Угловая частота (ω) связана с периодом (T) колебаний следующим образом: ω = 2π / T.

Для нахождения максимальной кинетической энергии (Кэ) мы можем использовать следующую формулу: Кэ = (1/2) * m * v^2, где m - масса тела, v - скорость тела.

Поскольку x = A * sin(ωt), то производная по времени dx/dt = A * ω * cos(ωt) представляет собой скорость тела.

Таким образом, скорость v = A * ω * cos(ωt).

Подставляя значения и вычисляя скорость: v = 100 * (20) * cos(20t) = 2000 * cos(20t) (см/с).

Теперь можем найти кинетическую энергию: Кэ = (1/2) * m * v^2 = (1/2) * 1000 г * (2000 * cos(20t))^2 (см^2/с^2).

Теперь рассмотрим потенциальную энергию (Пэ) для данной системы.

Потенциальная энергия в гармонических колебаниях определяется как: Пэ = (1/2) * k * x^2, где k - коэффициент упругости (в данном случае, мы его выразим через угловую частоту ω), x - смещение от положения равновесия.

Для гармонических колебаний: k = m * ω^2.

Подставляя значения и вычисляя потенциальную энергию: Пэ = (1/2) * (m * ω^2) * x^2 = (1/2) * (1000 г) * (20^2) * (100 sin(20t))^2 (см^2 г / с^2).

Теперь вычислим полную механическую энергию (ПМЭ) как сумму кинетической и потенциальной энергий: ПМЭ = Кэ + Пэ.

Подставляем ранее вычисленные значения и преобразуем граммы в килограммы (1 г = 0.001 кг) для выражения результата в джоулях (1 Дж = 1 кг м^2 / с^2): ПМЭ = Кэ + Пэ = ((1/2) * 1 кг * (2000 * cos(20t))^2) + ((1/2) * (1 кг) * (20^2) * (100 * sin(20t))^2) (кг м^2 / с^2).

Максимальная полная механическая энергия будет зависеть от максимального значения cos(20t) и sin(20t), которые равны 1.

Таким образом, ПМЭ(max) = ((1/2) * 1 кг * (2000)^2) + ((1/2) * (1 кг) * (20^2) * (100)^2) (кг м^2 / с^2).

Теперь вычислим значения: ПМЭ(max) = (0.5 * 4000000) + (0.5 * 40000 * 10000) (кг м^2 / с^2) = 2000000 + 200000000 = 202000000 (кг м^2 / с^2) = 202000000 Дж.

Таким образом, максимальная полная механическая энергия колеблющегося тела составляет 202000000 Дж.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном расчете мы предположили значение амплитуды A равным 100 см. Если у вас есть более точные данные или другие параметры, то результаты могут измениться.