Question

Высота уровня воды в цилиндрической бочке составляла 1 м. В бочку аккуратно засыпали маленькие железные шарики. При этом средняя плотность образовавшейся «смеси» равна 4070 кг/м3. Найдите, до какого уровня поднялась вода, когда в нее засыпали шарики. Плотность воды 1000 кг/м3,плотность железа 7140 кг/м3.

Answer 1

Ответ:

2 м

Объяснение:

Обозначим за S площадь поперечного сечения бочки.

Первоначально, масса воды в бочке

$m_B=\rho _BSH=1000*S*1=1000S$ кг

Пусть в бочку засыпали железные шарики общим объемом V, тогда масса железных шариков

$m_F_e=\rho _F_eV=7140V$ кг

Средняя плотность смеси

$\rho _C=\frac{m_B+m_f_e}{SH+V} =\frac{1000S+7140V}{SH+V}$

Выразим отсюда объем железа

$V=\frac{\rho _cS-1000S}{7140-\rho _C}=\frac{4070S-1000S}{7140-4070}=\frac{3070S}{3070} =S$

Новую высоту уровня воды легко найти, разделив суммарный объем воды и железа на площадь поперечного сечения бочки

$H'=\frac{SH+V}{S}=\frac{S*1+S}{S} =\frac{2S}{S}=2$ м.

Answer 2

Ответ:

2 метра

Объяснение:

Дано:

h₁=1 м

ρ=4070 кг/м³

ρ₁=1000 кг/м³

ρ₂ =7140 кг/м³

Найти: h₂-?

Решение:

Рассмотрим бочку с водой и шариками и их суммарная масса равна ρh₂S, а объём занятый водой - h₁S, S - собственно говоря, площадь нашей бочки. Если мы уберём из бочки воду, то масса содержимого уменьшится на ρ₁h₁S. Но если обозначить искомую величину h₂, то масса куска железа равна ρ₂h₂S

Итоговая формула:ρ₂h₂S   =ρh₂S- ρ₁h₁S+ρ₂h₁S.

Сокращаем на S и выражаем →  h₂=(ρ₂-ρ₁)*h₁/(ρ₂-ρ) =$\frac{(7140-1000)*1}{7140-4070} =\frac{6140}{3070} =2$ м

Answer 3

Давайте рассмотрим ситуацию. В начале уровень воды находился на высоте 1 метр внутри цилиндрической бочки. После добавления железных шариков уровень воды поднимется. Мы можем использовать закон Архимеда для решения этой задачи.

Закон Архимеда гласит, что величина поддерживающей силы, действующей на тело, погруженное в жидкость, равна весу выталкиваемой этим телом жидкости и зависит только от объема тела и плотности жидкости. Формула для этой силы:

$F_{\text{поддерж}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot V_{\text{погруж}} \cdot g,$

где:

• $F_{\text{поддерж}}$ - поддерживающая сила,
• $\rho_{\text{жидкости}}$ - плотность жидкости (1000 кг/м³ для воды),
• $V_{\text{погруж}}$ - объем погруженной жидкости (который мы хотим найти),
• $g$ - ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²).

Сначала посчитаем объем погруженной жидкости после добавления шариков. Пусть $h$ - это высота поднятия уровня воды. Тогда объем погруженной жидкости можно выразить как площадь основания цилиндра ($S_{\text{основания}}$) умноженную на высоту $h$:

$V_{\text{погруж}} = S_{\text{основания}} \cdot h.$

Площадь основания цилиндра $S_{\text{основания}}$ можно выразить через радиус основания $r$ (половина диаметра):

$S_{\text{основания}} = \pi r^2.$

Теперь подставим все в формулу поддерживающей силы:

$F_{\text{поддерж}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot V_{\text{погруж}} \cdot g = \rho_{\text{жидкости}} \cdot (\pi r^2 \cdot h) \cdot g.$

Следующим шагом будет выразить вес всех добавленных шариков через их объем и плотность:

$F_{\text{шариков}} = \rho_{\text{шариков}} \cdot V_{\text{шариков}} \cdot g,$

где:

• $F_{\text{шариков}}$ - вес шариков,
• $\rho_{\text{шариков}}$ - плотность железных шариков (7140 кг/м³),
• $V_{\text{шариков}}$ - объем всех шариков (также равен площади основания умноженной на высоту погружения).

Так как добавление шариков вызвало поднятие уровня воды, поддерживающая сила должна быть равна весу всех шариков:

$F_{\text{поддерж}} = F_{\text{шариков}}.$

Подставляя выражения для сил, получаем:

$\rho_{\text{жидкости}} \cdot (\pi r^2 \cdot h) \cdot g = \rho_{\text{шариков}} \cdot (\pi r^2 \cdot h) \cdot g.$

Теперь выразим высоту поднятия уровня воды $h$:

$h = \frac{\rho_{\text{шариков}}}{\rho_{\text{жидкости}}}.$

Подставляя значения плотностей:

$h = \frac{7140 \, \text{кг/м³}}{1000 \, \text{кг/м³}} = 7.14 \, \text{м}.$

Таким образом, уровень воды поднимется до высоты 7.14 метра после добавления железных шариков.