Question

Какова энергия магнитного поля в катушке длиной l= 50 см, имеющей N= 10 витков диаметром d = 20 см, если по ней протекает ток I = 2 мА? Найдите объемную плотность энергии

Answer 1

Ответ: W=16*π²*10^(-13) Дж, w=32*10^(-11) Дж/м³.

Объяснение:

Энергия магнитного поля W=L*i²/2, поэтому - так как сила тока известна - нам остаётся определить индуктивность катушки L. Индуктивность L=μ*μ0*N²*S/L, где μ=1 - магнитная проницаемость воздуха, μ0=4*π*10^(-7) Гн/м - абсолютная магнитная проницаемость, N=10 - число витков катушки, L=50 см=0,5 м - средняя длина катушки, S=π*d²/4 - площадь её поперечного сечения. Так как по условию d=20 см =0,2 м, то S=π*0,04/4=0,01*π м² и тогда L=1*4*π*10^(-7)*100*0,01*π/0,5=8*π²*10^(-7) Гн. Тогда W=8*π²*10^(-7)*4*10^(-6)/2=16*π²*10^(-13) Дж. Объёмная плотность энергии w=W/V=W/(S*L)=16*π²*10^(-13)/(0,01*π²*0,5)=32*10^(-11) Дж/м³.

Answer 2

Энергия магнитного поля в катушке с током может быть вычислена с помощью формулы:

$E = \frac{1}{2} \mu_0 N I^2 A$,

где:

• $E$ - энергия магнитного поля в катушке,
• $\mu_0$ - магнитная постоянная ($4\pi \times 10^{-7}\, \text{Тл}\cdot\text{м}/\text{А}$),
• $N$ - число витков в катушке,
• $I$ - ток, протекающий через катушку,
• $A$ - площадь поперечного сечения катушки.

Для катушки, представляющей собой соленоид (бесконечную катушку) с площадью поперечного сечения $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$ (где $d$ - диаметр катушки), эта формула будет работать достаточно хорошо, если длина катушки $l$ много больше её диаметра.

Давайте подставим данные и вычислим энергию магнитного поля:

& = 2 \times 10^{-7}\, \text{Тл}\cdot\text{м}/\text{А} \cdot 10 \cdot (4 \times 10^{-6}\, \text{А}^2) \cdot \pi \cdot 1 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \\ & = 2 \times 10^{-7}\, \text{Тл}\cdot\text{м}/\text{А} \cdot 4 \times 10^{-5}\, \text{А}^2 \cdot \pi \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \\ & = 2 \times 10^{-7}\, \text{Тл}\cdot\text{м}^3/\text{А} \cdot 4 \times 10^{-5} \cdot \pi \\ & = 2.52 \times 10^{-15}\, \text{Дж}. \end{split}\] Объемная плотность энергии магнитного поля (\(u\)) в данном случае будет равна: \[u = \frac{E}{V}\], где \(V\) - объем катушки. Объем соленоида можно приближенно считать как \(V = A \cdot l\), если \(l\) много больше \(d\): \[V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot l\]. Теперь можно подставить значения: \[u = \frac{2.52 \times 10^{-15}\, \text{Дж}}{\pi \left(\frac{20 \times 10^{-2}\, \text{м}}{2}\right)^2 \cdot 50 \times 10^{-2}\, \text{м}} \approx 1.59 \times 10^{-4}\, \text{Дж/м}^3\]. Таким образом, объемная плотность энергии магнитного поля в данной катушке составляет примерно \(1.59 \times 10^{-4}\, \text{Дж/м}^3\).