Question

Человек массой m стоит в центре вращающейся с частотой 4 об/c платформы радиусом 2м массой 100кг. Человек переходит на край платформы и она начинает вращаться с частотой 2об/с. Найти массу человека

Answer 1

Дано:

w1 = 4 об/с

R = 2 м

M = 100 кг

w2 = 2 об/с

m - ?

Решение:

Закон сохранения момента импульса: (J1+J2)×w2 = J1×w1

J1 = M×R^2/2 - момент инерции сплошного диска радиусом R и массой M, w2 - начальная частота вращения человека с диском, J1+J2 - суммарный момент инерции диска и человека, находящегося на краю диска, w1 - частота вращения после перехода человека в центр.

J2 = m×R^2 - момент инерции человека.

(M×R^2/2 + m×R^2)×w2 = M×R^2/2 × w1

M = 2m×w2/w1-w2

2m×w2 = M(w1-w2)

m = M(w1-w2)/w2 / 2

m = 100(4-2)/2 / 2 = 50 кг

Ответ: m = 50 кг.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения момента импульса и момента количества движения.

Изначально, когда человек стоит в центре платформы, его момент импульса равен нулю, так как его скорость относительно центра вращения платформы равна нулю. Момент импульса системы (человек + платформа) определяется только моментом импульса платформы, так как человек находится в центре.

Момент импульса платформы изначально: $L_1 = I \cdot \omega_1$ где $I$ - момент инерции платформы, $ω_1$ - начальная угловая скорость платформы.

Момент инерции $I$ вращающейся платформы считается по формуле $I = m \cdot r^2$, где $m$ - масса платформы, $r$ - радиус платформы.

Момент количества движения $p_1$ платформы изначально: $p_1 = m \cdot v_1$ где $v_1 = r \cdot ω_1$ - начальная линейная скорость платформы.

Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса до перехода человека на край платформы равен моменту импульса после перехода.

После того как человек перешел на край платформы, момент импульса системы (человек + платформа) становится равным моменту импульса только человека, так как платформа начинает вращаться с другой угловой скоростью.

Момент импульса человека после перехода: $L_2 = m \cdot r^2 \cdot ω_2$ где $ω_2$ - новая угловая скорость платформы после перехода человека на край.

Момент количества движения человека после перехода: $p_2 = m \cdot v_2$ где $v_2 = r \cdot ω_2$ - новая линейная скорость платформы после перехода.

Из закона сохранения момента импульса следует, что $L_1 = L_2$, то есть: $I \cdot ω_1 = m \cdot r^2 \cdot ω_2$

Изначально момент количества движения $p_1$ платформы равен моменту количества движения $p_2$ человека после перехода: $m \cdot v_1 = m \cdot v_2$ $r \cdot ω_1 = r \cdot ω_2$

Теперь мы можем использовать данную информацию и решить систему уравнений для нахождения $m$ (массы человека):

$I \cdot ω_1 = m \cdot r^2 \cdot ω_2$ $r \cdot ω_1 = r \cdot ω_2$

Подставляя выражение для $I = m \cdot r^2$, получаем: $m \cdot r^2 \cdot ω_1 = m \cdot r^2 \cdot ω_2$

Упрощая уравнение и сокращая на $r^2$, получаем: $ω_1 = ω_2$

Таким образом, угловая скорость платформы до и после перехода человека остается одинаковой. Это означает, что угловой импульс системы (человек + платформа) не меняется при переходе человека на край платформы. Так как момент инерции $I$ платформы зависит от её массы, то масса человека $m$ не влияет на угловую скорость платформы.

Итак, масса человека $m$ никак не влияет на угловую скорость платформы, и задача не может быть решена только по предоставленным данным. Масса человека $m$ остается неопределенной.