Question

в центре горизонтальной платформы массой 102,4 кг и радиусом 2м,вращающейся со скоростью, соответствующей 1 об/с,стоит человек и держит в расставленных руках 2 гири. На какую величину уменьшится момент количества движения человека, когда он опустил руки, если платформа при этом стала вращаться с частотой 1,5 об/с.

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Момент инерции системы (человек + гири) относительно оси вращения равен сумме моментов инерции каждого отдельного тела.

Момент инерции платформы относительно оси вращения можно вычислить по формуле: I1 = 1/2 * m * r^2

Где m - масса платформы, r - радиус платформы. В нашем случае m = 102,4 кг, r = 2 м.

I1 = 1/2 * 102,4 кг * (2 м)^2 = 204,8 кг * м^2

Момент инерции человека и гирь относительно оси вращения, проходящей через центр масс системы, равен сумме моментов инерции каждого отдельного тела. Поскольку руки человека опущены, то ось вращения проходит через центр масс системы.

Масса человека и гирь равна массе платформы, т.е. m = 102,4 кг.

Момент инерции человека и гирь относительно оси вращения равен: I2 = 1/2 * m * r^2 + 1/12 * 2 * m * L^2

Где L - длина руки человека. Поскольку гири находятся на концах рук, то длина руки равна дважды радиусу платформы, т.е. L = 2 * r.

I2 = 1/2 * 102,4 кг * (2 м)^2 + 1/12 * 2 * 102,4 кг * (2 м)^2 = 409,6 кг * м^2

Согласно закону сохранения момента импульса, момент импульса до опускания рук равен моменту импульса после опускания рук:

I1 * w1 = I2 * w2

где w1 - начальная угловая скорость платформы, w2 - конечная угловая скорость платформы. В нашем случае w1 = 2π рад/с, w2 = 3/2 * 2π рад/с.

Из этого уравнения можно найти I2:

I2 = I1 * w1 / w2 = 204,8 кг * м^2 * (2π рад/с) / (3/2 * 2π рад/с) = 204,8 кг * м^2 * 4/3 = 273,0667 кг * м^2

Момент инерции уменьшился на величину I1 - I2:

ΔI = I1 - I2 = 204,8 кг * м^2 - 273,0667 кг * м^2 = -68,2667 кг * м^2

Уменьшение момента количества движения определяется по формуле:

ΔL = ΔI * w2

ΔL = -68,2667 кг * м^2 * 3/2 * 2π рад/с = -408,2 кг * м^2 * π рад/с ≈ -1282,4 кг * м^2 * рад/с

Ответ: Момент количества движения человека уменьшился на примерно 1282,4 кг * м^2 * рад/с