Question

Покажите, что электромагнитное поле, выраженное уравнениями Ex=Ey=0; Ez=cos(y-ct); Bx= cos(y-ct); By=Bz=0 удовлетворяет уравнения Максвелла в пустом пространстве.

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим уравнения Максвелла в дифференциальной форме, нам понадобятся 3 и 4 уравнения:

$\nabla \times E=-\frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}$

$\nabla \times H=\frac{4\pi }{c} j+\frac{1}{c} \frac{\partial D}{\partial t}$

Найдем ротор вектора напряженности по известным его компонентам:

$\nabla \times E=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\frac{\partial }{\partial _x} &\frac{\partial }{\partial _y}&\frac{\partial }{\partial _z}\\E_x&E_y&E_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\frac{\partial }{\partial _x} &\frac{\partial }{\partial _y}&\frac{\partial }{\partial _z}\\0&0&cos(y-ct)\end{array}\right] =i*-sin(y-ct)$

Найдем производную магнитной индукции по времени:

$\frac{\partial B}{\partial t} =c*sin(y-ct)$

Действительно, легко видеть что они удовлетворяют третьему уравнению.

Теперь найдем ротор вектора напряженности магнитного поля, учитывая что $H=\frac{B}{\mu _0}$ и $D=\epsilon_0 E$

$\nabla\times H=k*-\frac{1}{\mu_0} sin(y-ct)$

Производная электрической индукции по времени:

$\frac{\partial D}{\partial t}=c \epsilon_0 sin(y-ct)$

Но так как $\frac{1}{\mu_0}=c^2\epsilon_0$ ротор напряженности магнитного поля также совпадает с производной электрической индукции по времени, деленной на скорость света (для электромагнитной волны плотность тока j считаем нулевой, так как нет среды проводимости).

Answer 2

Для демонстрации того, что данное электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в пустом пространстве, мы должны проверить, что оно удовлетворяет следующим четырём уравнениям Максвелла:

1. Уравнение Гаусса для электрического поля: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

2. Уравнение Гаусса для магнитного поля: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

3. Уравнение Фарадея (изменение магнитного поля порождает электрическое поле): $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

4. Уравнение Ампера с добавочным членом (изменение электрического поля порождает магнитное поле): $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

Где:

• $\mathbf{E}$ - векторное электрическое поле,
• $\mathbf{B}$ - векторное магнитное поле,
• $\rho$ - плотность заряда,
• $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная (пермиттивность вакуума),
• $\mu_0$ - магнитная постоянная (проницаемость вакуума),
• $\mathbf{J}$ - плотность электрического тока,
• $c$ - скорость света.

Давайте проверим каждое уравнение для данного поля:

1. Уравнение Гаусса для электрического поля: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$ Поскольку $E_x = E_y = 0$ и $E_z = \cos(y - ct)$, производные будут равны нулю. Таким образом, уравнение выполняется.

2. Уравнение Гаусса для магнитного поля: $\nabla \cdot \mathbf{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$ Поскольку $B_x = B_y = 0$ и $B_z = \cos(y - ct)$, производные также будут равны нулю. Уравнение выполняется.

3. Уравнение Фарадея: $\nabla \times \mathbf{E} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & \cos(y - ct) \end{vmatrix}$ Вычислим векторное произведение и получим $-\mathbf{k} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \cos(y - ct) = \sin(y - ct) \cdot \frac{\partial}{\partial y} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$. Уравнение выполняется.

4. Уравнение Ампера с добавочным членом: $\nabla \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \cos(y - ct) & 0 & 0 \end{vmatrix}$