Question

Диск равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности. Если отношение линейных скоростей двух точек диска составляет корень из двух, то отношение максимального и минимального расстояний равно?

Answer 1

Ответ:

5,83

Объяснение:

Если правильно вас понял, то речь идет об отношении расстояний A'B/AB (см. рисунок). Выразим эти расстояния из связи угловой скорости с линейной

$v=\omega R => R=\frac{v}{\omega}$

$OB=\frac{v_B}{\omega}$

$OA=OA'=\frac{v_A}{\omega}$

$AB=OB-OA=\frac{v_B-v_A}{\omega}$

$A'B=OB+OA'=\frac{v_B+v_A}{\omega}$

Искомое отношение

$\frac{A'B}{AB}=\frac{v_B+v_A}{v_B-v_A}=\frac{\frac{v_B}{v_A}+1 }{\frac{v_B}{v_A}-1}=\frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2}-1 }=5.83$.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения момента импульса. Поскольку диск вращается равномерно, момент импульса сохраняется во времени.

Давайте обозначим:

• $v_1$ - линейная скорость точки ближе к оси вращения
• $v_2$ - линейная скорость точки дальше от оси вращения
• $r_1$ - расстояние точки ближе к оси вращения от центра диска
• $r_2$ - расстояние точки дальше от оси вращения от центра диска

Согласно закону сохранения момента импульса $L = mvr$, где $m$ - масса точки, $v$ - линейная скорость точки, $r$ - расстояние от точки до оси вращения.

Так как момент импульса сохраняется, $L_1 = L_2$:

$m_1v_1r_1 = m_2v_2r_2$

Дано, что отношение линейных скоростей равно $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$, следовательно $v_2 = \sqrt{2}v_1$.

Подставляя это в уравнение момента импульса:

$m_1v_1r_1 = m_2(\sqrt{2}v_1)r_2$

Поскольку масса точек $m_1$ и $m_2$ одинакова, она сокращается:

$r_1 = \sqrt{2}r_2$

Таким образом, отношение максимального расстояния к минимальному расстоянию равно $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.