Question

Грузик массой m прикреплен к пружине жесткости k и совершает незатухающие гармонические колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой А. В начальный момент грузик вышел из положения равновесия. За какое время он пройдет путь, равный ? m = 4 кг, k = 3 Н/м; A = 2 см.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Замечание: А чему равен путь?

Пусть путь равен S

Дано:

S

m = 4 кг

k = 3 Н/м

А = 2 см

__________

t - ?

Период:

T = 2π·√ (m/k) =  2·3,14·√ (4/3) ≈ 7,25 с

1)

За период тело проходит путь:

S₁ = 4·A = 4·2 = 8 см = 0,08 м

2)

Теперь, зная расстояние S можно определить число периодов:

n = S / S₁ = S / 0,08

3)

И теперь находим время:

t = n·T = 7,25·n = 7,25 · S / 0,08 ≈ 90·S (с)

Answer 2

Для определения времени, за которое грузик пройдет заданный путь, можно воспользоваться уравнением гармонических колебаний. Уравнение для периодического движения с гармонической силой можно записать как:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где:

• $T$ - период колебаний,
• $m$ - масса грузика,
• $k$ - жесткость пружины.

Зная период колебаний, мы можем определить время, за которое грузик пройдет половину заданного пути, так как в гармонических колебаниях грузик двигается туда и обратно. Затем удвоим это время, чтобы найти полный путь.

1. Вычислим период колебаний $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{4\, \text{кг}}{3\, \text{Н/м}}} \approx 5.13\, \text{секунд}$

2. Теперь найдем время, за которое грузик пройдет половину заданного пути:

Половина амплитуды $A$ равна 1 см, так как $A$ равна 2 см, и мы ищем половину этого расстояния. Половина амплитуды будет 1 см или 0.01 м.

Теперь мы можем использовать уравнение для гармонических колебаний, чтобы найти расстояние $d$, пройденное грузиком за время $t$:

$d = A \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$

где:

• $d$ - расстояние,
• $A$ - амплитуда,
• $t$ - время,
• $T$ - период колебаний.

Подставим известные значения и найдем время $t_1$ для половины амплитуды:

$0.01\, \text{м} = 0.02\, \text{м} \cdot \sin\left(\frac{2\pi t_1}{5.13\, \text{сек}}\right)$

Для нахождения $t_1$ нужно решить это уравнение. Сначала найдем арксинус:

$\sin\left(\frac{2\pi t_1}{5.13\, \text{сек}}\right) = \frac{0.01\, \text{м}}{0.02\, \text{м}} = 0.5$

Теперь найдем $t_1$:

$\frac{2\pi t_1}{5.13\, \text{сек}} = \arcsin(0.5)$

$2\pi t_1 = \arcsin(0.5) \cdot 5.13\, \text{сек}$

$t_1 = \frac{\arcsin(0.5) \cdot 5.13\, \text{сек}}{2\pi} \approx 0.824\, \text{сек}$

3. Теперь удвоим это время, чтобы найти полный путь:

$t_{\text{полный}} = 2 \cdot t_1 \approx 2 \cdot 0.824\, \text{сек} \approx 1.648\, \text{сек}$

Таким образом, грузик пройдет путь, равный половине амплитуды, за примерно 1.648 секунды.