Question

Покажите, что дифференцирующая RC–цепь является фильтром высоких частот

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Посмотрим как изменяется выходное напряжение такой цепочки в зависимости от частоты входного (сдвиг фаз для простоты опустим)

Емкостное сопротивление

$X_c=\frac{1}{\omega C}$

Полное сопротивление цепочки

$Z=\sqrt{R^2+X_C^2} =\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega ^2C^2} }$.

Ток через цепочку

$I=\frac{U_i_n}{Z}=\frac{U_i_n}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega ^2C^2} } }$

Выходное напряжение, оно же падение напряжения на резисторе

$U_o_u_t=IR=U_i_n \frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega ^2C^2} } }$

Если частота мала, то подкоренное выражение велико, а выходное напряжение стремится к нулю, т.е. срезаются низкие частоты, для больших частот вся дробь стремится к 1 и выходное напряжение сравнивается с входным, т.е. высокие частоты пропускаются хорошо. Примерный вид АЧХ показан на рисунке.

Answer 2

Дифференцирующая RC-цепь, состоящая из резистора (R) и конденсатора (C), является электрической цепью, которая способна фильтровать различные частоты сигналов.

Для демонстрации того, что дифференцирующая RC-цепь является фильтром высоких частот, рассмотрим её характеристики и передаточную функцию.

Передаточная функция дифференцирующей RC-цепи определяет отношение выходного напряжения к входному напряжению и может быть записана в виде:

H(s) = 1/(RCs)

где s является комплексной переменной, а H(s) - передаточная функция.

Чтобы определить, является ли RC-цепь фильтром высоких частот, мы можем анализировать её передаточную функцию.

Для фильтра высоких частот желательно, чтобы передаточная функция имела низкую амплитуду для низких частот и высокую амплитуду для высоких частот.

Анализируя передаточную функцию H(s) = 1/(RCs), мы видим, что её амплитуда убывает с увеличением частоты. Для высоких частот, когда s (или jω) принимает большие значения, передаточная функция стремится к нулю. Это означает, что высокочастотные компоненты входного сигнала будут сильно подавлены на выходе.

Таким образом, дифференцирующая RC-цепь обладает характеристиками фильтра высоких частот, где высокочастотные сигналы проходят через цепь с меньшей амплитудой, а низкочастотные сигналы ослабляются.

Отметим также, что передаточная функция H(s) = 1/(RCs) представляет собой функцию, которая имеет полюс на нуле (s = 0). Это означает, что у RC-цепи есть свойство дифференцирования входного сигнала. Высокочастотные компоненты входного сигнала будут дифференцированы и усилены на выходе, в то время как низкочастотные компоненты будут ослаблены или затушены.

В результате, можно сделать вывод, что дифференцирующая RC-