Question

Какая часть молекул гелия при температуре 30о С обладает скоростями от 900 до 920 м/с? Молярная масса гелия 4 г/моль

Answer 1

Из распределения Максвелла

$\displaystyle{dN}_{v}=N\cdot{dP}_{v}\implies \dfrac{{dN}_{v}}{N}={dP}_{v}\implies \dfrac{\Delta{N}_v}{N}=\int {dP}_{v}$

$\displaystyle\int{dP}_{v}=4\pi\cdot\left(\dfrac{\mu}{2\pi RT}\right)^{\tfrac{3}{2}}\cdot\int_{900}^{920}v^2\cdot e^{-\tfrac{\mu v^2}{2RT}}\,{dv}\approx 1{,}6\cdot 10^{-9}\cdot \int_{900}^{920}v^2\cdot e^{-\alpha v^2}\, {dv}\approx\bigskip\\\approx 0{,}0137\approx 1{,}4\%$

Но руками интеграл не берётся, поэтому (т.к. промежуток достаточно мал) можно попробовать оценить часть молекул, полагая ${dP}_{v}\approx\Delta{P}_{v}$ и ${dv}\approx \Delta v\approx 20$

$\Delta{P}_{v}\approx 1{,}6\cdot 10^{-9}\cdot 900^2\cdot e^{-\tfrac{0{,}004\cdot 900^2}{2\cdot 8{,}31\cdot 303}}\cdot 20\approx 0{,}0136\approx 0{,}014\approx 1{,}4\%$

Соотв-но, с точностью до двух значащих цифр можно пренебречь интегралом

Answer 2

Для того чтобы рассмотреть скорости молекул гелия при данной температуре, можно воспользоваться распределением Максвелла-Больцмана для скоростей газовых молекул.

Формула для распределения Максвелла-Больцмана выглядит следующим образом:

$f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2 k T}}$

где:

• $f(v)$ - вероятность того, что молекула газа имеет скорость $v$
• $m$ - масса молекулы газа
• $k$ - постоянная Больцмана
• $T$ - температура в кельвинах
• $v$ - скорость молекулы газа

В данном случае $m = 4 \, \text{г/моль}$ (молярная масса гелия), $k$ - постоянная Больцмана, $T = 30 + 273.15$ К (температура в кельвинах).

Теперь нужно найти такой интервал скоростей $v$, при котором $f(v)$ будет в заданном диапазоне (от 900 до 920 м/с). Для этого можно численно интегрировать функцию $f(v)$ в заданных пределах скоростей, чтобы определить вероятность того, что молекула газа будет иметь скорость в этом интервале.

Однако, без точных вычислений или программного кода необходимо использовать численные методы для нахождения вероятности в заданном интервале скоростей.