Question

Два конденсатора образуют последовательную батарею. Батарею подсоединили к источнику ЭДС и батарея набрала электрическую энергию W. Какую энергию при этом затратил источник питания?

Answer 1

Работа источника по заряду q на батарею конденсаторов равна

$A = q\mathcal{E}$

При этом мы знаем, что общий перепад напряжений на конденсаторах составил тоже $\mathcal{E}$, а пригнанный на них заряд, соответственно

$q = C\mathcal{E}$,

где C - эквивалентная емкость всей батареи.

Отсюда

$A = C\mathcal{E}^2$

Заметим что это в два раза больше энергии батареи

$W = C\mathcal{E}^2/2$

Окончательный ответ

$A = 2W$

Answer 2

При подключении батареи из конденсаторов к источнику ЭДС (электродвижущей силы), конденсаторы начнут заряжаться до напряжения источника, а источник будет совершать работу против электростатических сил, чтобы перенести заряд на конденсаторы.

Энергия, которую набрала батарея (или электрические конденсаторы), может быть рассчитана по формуле:

$W = \frac{1}{2} C_1 V^2 + \frac{1}{2} C_2 V^2$

где $C_1$ и $C_2$ - ёмкости двух конденсаторов, $V$ - напряжение источника.

Работа, которую совершил источник ЭДС, равна потраченной энергии. Это можно выразить как:

$W_{\text{источник}} = QV$

где $Q$ - заряд, перенесенный на конденсаторы, $V$ - напряжение источника.

В данном случае, конденсаторы заряжаются до напряжения источника, а затем заряд остается на них. Таким образом, заряд $Q$ можно выразить через ёмкость и напряжение:

$Q = C_1 V + C_2 V$

Подставляя это выражение в формулу для работы источника, получаем:

$W_{\text{источник}} = (C_1 V + C_2 V) \cdot V = (C_1 + C_2) V^2$

Таким образом, энергия, которую при этом затратил источник питания, равна $(C_1 + C_2) V^2$, где $C_1$ и $C_2$ - ёмкости конденсаторов, а $V$ - напряжение источника.