Question

Плоский склон горы образует с горизонтом угол alpha=30. Из миномета, расположенного на склоне, производят выстрел, под таким углом β к поверхности склона, что продолжительность полета мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S=800 м от точки старта. 1) Под каким углом β к поверхности склона произведен выстрел? 2) Найдите величину v_0 начальной скорости мины. Ускорение свободного падения `g=10 м/с^2. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Answer 1

Достаточно очевидно, что стрелять надо в сторону уменьшения склона.

Направим ось x вниз вдоль склона, а ось y перпендикулярно ей от склона. В такой системе координат ускорение свободного падения имеет проекции на обе оси

$g_x = g\sin\alpha;\quad g_y = -g\cos\alpha$

А начальная скорость проецируется на эти оси так

$v_{0x} = v_0\cos\beta;\quad v_{0y} = v_0\sin\beta$

Уравнения движения

$x(t) = v_{0x}t + g_xt^2/2\\y(t) = v_{0y}t + g_yt^2/2$

Время полного полета находим из равенства y(t)=0

$T = -2v_{0y}/g_y$

Расстояние вдоль склона, на котором упало тело

$S = x(T) = -2v_{0x}v_{0y}/g_y+ 2g_xv_{0y}^2/g_y^2 = \\= 2v_0^2(\cos\beta\sin\beta + \sin\alpha\sin^2\beta/\cos\alpha)/(g\cos\alpha)$

Выражение вне скобок не зависит от угла β, поэтому исследуем, когда максимально выражение внутри скобок

$\sin\beta\cos\beta + \tan\alpha\sin^2\beta = \\=0.5[\sin2\beta + \tan\alpha(1-\cos2\beta)] = \\0.5[\sin\alpha + \sin2\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos2\beta]/\cos\alpha = \\= 0.5[\sin\alpha + \sin(2\beta-\alpha)]/\cos\alpha$

Это выражение максимально когда второй синус в квадратных скобках равен единице, то есть при β = π/4 + α/2. В нашем случае это 45+15 = 60 градусов.

Сама максимальная дальность полета равна

$\displaystyle\\\\S = \frac{v_0^2(1+\sin\alpha)}{g\cos^2\alpha}$

Отсюда

$\displaystyle\\v_0 = \cos\alpha\sqrt{\frac{gS}{1+\sin\alpha}} \approx 63.2\text{ m/s}$

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться уравнениями движения тела брошенного под углом к горизонту.

1. Для определения угла β, при котором продолжительность полета мины наибольшая, можно использовать условие равенства нулю производной времени полета по углу: d(t)/d(β) = 0

2. Для нахождения начальной скорости v₀ можно воспользоваться уравнением дальности полета горизонтального броска: S = (v₀² * sin(2β)) / g

Решение:

1. Найдем угол β, при котором продолжительность полета мины наибольшая. Найдем производную времени полета по углу β: d(t)/d(β) = (v₀ * sin(β) * cos(β)) / g

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: (v₀ * sin(β) * cos(β)) / g = 0

Так как сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то скорость мины по вертикали не меняется во время полета. Это означает, что sin(β) не может быть равно нулю. Следовательно, уравнение (v₀ * sin(β) * cos(β)) / g = 0 не имеет решений.

Таким образом, угол β, при котором продолжительность полета мины наибольшая, не существует.

2. Найдем начальную скорость v₀. Используем уравнение для дальности полета: S = (v₀² * sin(2β)) / g

Подставляем известные значения: 800 = (v₀² * sin(2β)) / 10

Учитывая, что sin(2β) = 2 * sin(β) * cos(β), преобразуем уравнение: 800 = (v₀² * 2 * sin(β) * cos(β)) / 10 80 = v₀² * sin(β) * cos(β)

Учитывая, что sin(α) = 1/2, где α = 30°, и cos(α) = √3/2, решим уравнение: 80 = v₀² * (1/2) * (√3/2) 160 = v₀² * (√3/4) v₀² = (160 * 4) / √3 v₀² = 640 / √3 v₀ ≈ 370.12 м/с (округлим до сотых)

Таким образом, начальная скорость мины составляет около 370.12 м/с.