Question

Температура нагревателя в идеальной тепловой машине Тн = 500 К. Рабочее вещество – один моль идеального одноатомного газа. При адиабатическом расширении газ за цикл совершает работу A = 2,49 кДж. Определите коэффициент полезного действия тепловой машины. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К).

Answer 1

Ответ:

40%

Объяснение:

Предположим что тепловая машина работает в цикле с наибольшим возможным КПД (цикл Карно), тогда ее КПД равен:

$\displaystyle \eta=\frac{T_H-T_X}{T_H}$

Найдем изменение температуры рабочего тела, первое начало термодинамики для адиабатического процесса (Q=0) принимает вид:

$\displaystyle \Delta U=-A$

Таким образом:

$\displaystyle \frac{3}{2}\nu R\Delta T=-A$

$\displaystyle \Delta T=-\frac{2}{3}\frac{A}{\nu R}=-\frac{2}{3}*\frac{2490}{1*8.31}\approx-200$ К, знак минус указывает на то, что температура газа при адиабатическом расширении падает, значит Тн-Tx=200 К и искомый КПД:

$\displaystyle \eta=\frac{200}{500}=0.4$ или 40%.

Answer 2

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется как отношение полезной работы, выполняемой машиной, к поступившей теплоте. Математически это выражается следующим образом:

$\text{КПД} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Поступившая теплота}}$

В данном случае, нам дана полезная работа $A = 2,49 \, \text{кДж}$, и мы должны найти поступившую теплоту.

Поступившая теплота в цикле равна разнице между теплотой, полученной от нагревателя, и теплотой, отданной холодильнику. Поскольку процесс адиабатический, это также означает, что он без теплообмена ($Q = 0$).

Теплота, полученная от нагревателя, может быть выражена через изменение внутренней энергии газа:

$Q_{\text{н}} = \Delta U + W$

Где $W$ - работа, выполняемая газом, и $\Delta U$ - изменение внутренней энергии. Для моноатомного идеального газа, внутренняя энергия связана только с кинетической энергией молекул (так как нет внутренних степеней свободы, которые могли бы хранить потенциальную энергию):

$\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T$

где $n$ - количество молей газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, а $\Delta T$ - изменение температуры в цикле.

Известно, что в адиабатическом процессе $PV^\gamma = \text{const}$, где $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, а $C_p$ и $C_v$ - удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно. Для моноатомного газа $\gamma = \frac{5}{3}$.

Теперь, используя первый закон термодинамики, можно выразить работу в адиабатическом процессе:

$W = \frac{C_v}{R} (\Delta T)$

Из уравнения состояния идеального газа $PV = nRT$, можно выразить $V$ через $n$ и $T$:

$V = \frac{nRT}{P}$

Подставляя это в уравнение адиабатического процесса, получаем:

$W = \frac{C_v}{R} \left(\frac{P V}{nR}\right)$

$W = \frac{C_v}{R} \left(\frac{nRT}{nR}\right)$

$W = \frac{C_v}{R} T$

Теперь мы можем выразить поступившую теплоту:

$Q_{\text{н}} = \Delta U + W$

$Q_{\text{н}} = \frac{3}{2} n R \Delta T + \frac{C_v}{R} T$

$Q_{\text{н}} = \frac{5}{2} n R \Delta T$

$Q_{\text{н}} = \frac{5}{2} \cdot 1 \cdot 8.31 \cdot \Delta T$

$Q_{\text{н}} = 20.775 \Delta T$

Теперь мы можем выразить КПД:

$\text{КПД} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Поступившая теплота}} = \frac{A}{Q_{\text{н}}}$

$\text{КПД} = \frac{2.49}{20.775 \Delta T}$

В данном случае, нам дано значение температуры нагревателя $T_{\text{н}} = 500 \, \text{K}$. Подставляя это значение:

$\text{КПД} = \frac{2.49}{20.775 \cdot (500)}$

$\text{КПД} \approx 0.000239$

Измеряется в долях, так что коэффициент полезного действия этой тепловой машины очень низкий.