Question

Одноатомный идеальный газ совершает квазистатический процесс, определяемый уравнением P = α + β·V, где α и β некоторые постоянные величины, из состояния P1 = 300 кПа и V1 = 3 л в состояние с P2 = 100 кПа и V2 = 6 л. Чему равно отношение средней молярной теплоемкости процесса к универсальной газовой постоянной? Ответ записать с точностью до десятых.

Answer 1

Ответ:

-0,5

Объяснение:

Прежде всего выразим количество теплоты, подведенное к системе, воспользовавшись первым началом термодинамики:

$\displaystyle Q=A+\Delta U$

Работу по расширению газа можно найти как площадь под графиком процесса в pV координатах. Из уравнения P = α + β·V можно предположить, что график процесса - прямая линия, таким образом, работа совпадает с площадью трапеции:

$\displaystyle A=\frac{p_1+p_2}{2}*(V_2-V_1)=\frac{3*10^5+10^5}{2}*(6*10^{-3}-3*10^{-3})= 600$ Дж

Изменение внутренней энергии определяется лишь конечным и начальным состоянием системы:

$\displaystyle \Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=\frac{3}{2} \Delta (pV) =1.5*(10^5*6*10^{-3}-3*10^5*3*10^{-3})=-450$ Дж

$\displaystyle Q=600+(-450)=150$ Дж

Молярная теплоемкость:

$\displaystyle c_{\mu}=\frac{Q}{\nu \Delta T}$

Однако:

$\displaystyle \Delta (pV)=\nu R \Delta T => \nu \Delta T=\frac{\Delta (pV)}{R}$

$\displaystyle c_{\mu}=\frac{QR}{\Delta (pV)}$

А искомое отношение:

$\displaystyle \frac{c_{\mu}}{R}= \frac{Q}{p_2V_2-p_1V_1}=\frac{150}{6*10^{-3}*10^5-3*10^{-3}*3*10^5}=-0.5$

Примечание: отрицательное значение теплоемкости означает, что мы подводим тепло, а температура системы падает.

Answer 2

Для квазистатического процесса идеального газа с уравнением состояния $P = \alpha + \beta \cdot V$, можно использовать выражение для работы $W$ идеального газа:

$W = -\int_{V_1}^{V_2} P \, dV$

Заметим, что $P = \alpha + \beta \cdot V$, поэтому

$W = -\int_{V_1}^{V_2} (\alpha + \beta \cdot V) \, dV$

$W = -\int_{V_1}^{V_2} \alpha \, dV - \int_{V_1}^{V_2} \beta \cdot V \, dV$

$W = -\alpha \cdot (V_2 - V_1) - \beta \cdot \int_{V_1}^{V_2} V \, dV$

$W = -\alpha \cdot (V_2 - V_1) - \beta \cdot \left(\frac{V_2^2 - V_1^2}{2}\right)$

Подставляя значения $V_1 = 3 \, \text{л}$, $V_2 = 6 \, \text{л}$, $\alpha = P_1 = 300 \, \text{кПа}$, $\beta = \frac{P_2 - P_1}{V_2 - V_1} = \frac{100 \, \text{кПа} - 300 \, \text{кПа}}{6 \, \text{л} - 3 \, \text{л}} = -100 \, \text{кПа/л}$, мы можем вычислить $W$:

$W = -300 \cdot (6 - 3) - (-100) \cdot \frac{6^2 - 3^2}{2} = -900 \, \text{кПа} \cdot \text{л} + 150 \, \text{кПа} \cdot \text{л} = -750 \, \text{кПа} \cdot \text{л}$

Теперь, используя первое начало термодинамики, $Q = \Delta U + W$, где $Q$ - тепло, $\Delta U$ - изменение внутренней энергии, $W$ - работа, и зная, что для квазистатического процесса $\Delta U = Q - W$, мы можем выразить изменение внутренней энергии:

$\Delta U = Q - W = 0 - (-750 \, \text{кПа} \cdot \text{л}) = 750 \, \text{кПа} \cdot \text{л}$

Для одноатомного идеального газа справедливо: $C_v = \frac{3}{2} R$ и $C_p = \frac{5}{2} R$, где $C_v$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме, $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении, $R$ - универсальная газовая постоянная.

Отношение молярных теплоемкостей можно выразить как:

$\frac{C_p}{C_v} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{3}{2} R} = \frac{5}{3}$