Question

Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задано уравнением S = ct ^ 3, где c = 01см / c ^ 3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения через 3 с после начала движения.

Answer 1

Ответ:

тангенциальное 1,8 см/с²

нормальное 3,65 см/с²

Объяснение:

Распишем скорость и тангенциальное ускорение точки как соответствующие производные пути по времени:

$\displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}S(t)=3ct^2$ см/с

$\displaystyle a(t)=\frac{d^2}{dt^2}S(t)=6ct$ см/с²

Значение соответствующих величин в момент времени 3 с:

$\displaystyle v(3)=3*0.1*3^2=2.7$ см/с

$\displaystyle a(3)=6*0.1*3=1.8$ см/с² - тангенциальное ускорение

Найдем нормальное ускорение:

$\displaystyle a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{2.7^2}{2}=3.65$ см/с².

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти скорость и ускорение точки в зависимости от времени, а затем выразить нормальное и тангенциальное ускорения.

1. Найдем скорость точки: Скорость можно найти, взяв производную от уравнения пути по времени: $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d(ct^3)}{dt} = 3ct^2.$

2. Найдем ускорение точки: Ускорение можно найти, взяв производную от скорости по времени: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(3ct^2)}{dt} = 6ct.$

Теперь мы имеем выражения для скорости и ускорения точки в зависимости от времени.

Чтобы найти нормальное и тангенциальное ускорения, нам нужно использовать следующие формулы:

1. Нормальное ускорение ($a_n$): $a_n = \frac{v^2}{R},$

2. Тангенциальное ускорение ($a_t$): $a_t = \frac{dv}{dt}.$

Подставим значения скорости и радиуса:

1. Нормальное ускорение: $a_n = \frac{(3ct^2)^2}{R} = \frac{9c^2t^4}{R}.$

2. Тангенциальное ускорение: $a_t = 6ct.$

Теперь мы можем выразить нормальное и тангенциальное ускорения через 3 секунды после начала движения. Подставим $t = 3$ сек:

1. Нормальное ускорение: $a_n = \frac{9c^2(3^4)}{R} = \frac{9c^2 \cdot 81}{2} = \frac{729c^2}{2} \, \text{см/с}^2.$

2. Тангенциальное ускорение: $a_t = 6c \cdot 3 = 18c \, \text{см/с}^2.$

Подставив значение $c = 0.1$ см/с^3, получим конкретные числовые значения для ускорений:

1. Нормальное ускорение: $a_n = \frac{729 \cdot (0.1)^2}{2} = \frac{72.9}{2} = 36.45 \, \text{см/с}^2.$

2. Тангенциальное ускорение: $a_t = 18 \cdot 0.1 = 1.8 \, \text{см/с}^2.$

Итак, через 3 секунды после начала движения, нормальное ускорение составляет примерно $36.45 \, \text{см/с}^2$, а тангенциальное ускорение составляет $1.8 \, \text{см/с}^2$.