Question

Векторы a и b - не нулевые. Известно, |a-1000b|=|a+1000b| . Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу. Введите решение задачи

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть а=АВ , 1000в=АС .При разности векторов стрелка  РАЗНОСТИ  к вектору а. Получим вектор СА= | a-1000b | .  

Достроим до параллелограмма АВДС и найдем сумму а+1000в по правилу параллелограмма ⇒ диагональ АД=| a+1000b |.

Диагонали СВ=АД (по условию | a+1000b |= | a-1000b | ). Так такое бывает только в квадрате и прямоугольнике. Но это не квадрат , т.к а≠1000в ⇒это прямоугольник.

Answer 2

Для доказательства того, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, нам нужно воспользоваться свойствами векторных операций и алгебры. Давайте разберемся с этим:

Известно, что |a - 1000b| = |a + 1000b|. Это означает, что длины векторов a - 1000b и a + 1000b равны между собой.

Мы можем выразить длины векторов через их скалярное произведение и определение длины вектора:

|a - 1000b| = √((a - 1000b) ⋅ (a - 1000b)) |a + 1000b| = √((a + 1000b) ⋅ (a + 1000b))

Раскроем скалярные произведения и упростим выражения:

|a - 1000b| = √(a⋅a - 2000a⋅b + 1000000b⋅b) |a + 1000b| = √(a⋅a + 2000a⋅b + 1000000b⋅b)

Так как оба выражения равны между собой, мы можем записать:

a⋅a - 2000a⋅b + 1000000b⋅b = a⋅a + 2000a⋅b + 1000000b⋅b

Теперь у нас есть:

-2000a⋅b = 2000a⋅b

Обратите внимание, что -2000a⋅b и 2000a⋅b имеют равные абсолютные значения, но противоположные знаки. Это возможно только в случае, если a⋅b = 0, так как в этом случае оба слагаемых обнуляются.

Итак, мы доказали, что a⋅b = 0, что означает, что векторы a и b перпендикулярны друг другу.