Question

Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень с обрывистого берега реки, чтобы он упал в воду возможно дальше от берега? Высота обрыва H=10 м, начальная скорость камня v0=10 м/с.

Answer 1

Ответ:

Без учета силы трения тело движется по параболе. Если бы мы бросали из точки А, то наибольшая дальность полета достигалась бы при угле броска в 45°. В этом случае, в точке А горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости равны между собой.

v_y=v_xv

y

=v

x

Горизонтальная составляющая не меняется, т.к. ускорение свободного падения действует по вертикали.

В точке броска вертикальная составляющая уже другая, а горизонтальная та же.

Воспользуемся формулой перемещения

s= \frac{v_2^2-v_1^2}{2a}s=

2a

v

2

2

−v

1

2

В нашем случае s=h₀, скорости - вертикальные составляющие в точке А и в точке броска. Тогда

\begin{gathered}h_0= \frac{v_0^2sin^2 \alpha-v_0^2cos^2 \alpha }{-2g} \\ \frac{2gh_0}{v_0^2} =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha \\ \frac{2gh_0}{v_0^2} =cos2 \alpha \\cos 2 \alpha =\frac{2*9.8*20}{14^2} =2\end{gathered}

h

0

=

−2g

v

0

2

sin

2

α−v

0

2

cos

2

α

v

0

2

2gh

0

=cos

2

α−sin

2

α

v

0

2

2gh

0

=cos2α

cos2α=

14

2

2∗9.8∗20

=2

Такое значение косинуса недопустимо. Это говорит о том, что предложенная скорость слишком мала, что бы камень мог следовать по оптимальной траектории. Максимальное значение косинуса равно 1, следовательно, угол будет равен 0. Значит, бросаем горизонтально.

Ответ: 0

Answer 2

Чтобы определить угол броска камня, при котором он упадет в воду на максимальном расстоянии от берега, мы можем использовать принцип сохранения энергии.

Кинетическая энергия камня в начальный момент времени полностью превращается в потенциальную энергию при его падении в воду. Поэтому мы можем записать:

(m * v0^2) / 2 = m * g * H,

где m - масса камня, v0 - начальная скорость камня, g - ускорение свободного падения, H - высота обрыва.

Массу камня (m) можно сократить с обеих сторон уравнения. Также мы можем выразить g через известное значение ускорения свободного падения на поверхности Земли (около 9.8 м/с^2):

(v0^2) / 2 = g * H.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно g:

g = (v0^2) / (2 * H).

Затем мы можем использовать траекторию броска камня под углом θ:

R = (v0^2 * sin(2θ)) / g.

Для достижения максимальной дальности броска, мы должны найти угол θ, при котором R максимально. Максимизация функции R по отношению к θ может быть достигнута путем взятия производной и приравнивания ее к нулю.

dR/dθ = (2 * v0^2 * cos(2θ)) / g = 0.

cos(2θ) = 0.

2θ = π/2.

θ = π/4.

Таким образом, для максимальной дальности броска камня с высоты 10 м и начальной скорости 10 м/с, необходимо бросить его под углом 45 градусов к горизонту.