Question

Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению φ= 6 + 45t−4t2(Рис. 1). Найдите по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R= 0.1м от оси вращения, для момента времениt 1= 5с.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Кинематическое уравнение вращающегося тела:

φ = φ₀ + ω₀·t + ε·t²/2

Заданное уравнение:

φ = 6 + 45·t  - 8·t²/2

Имеем:

ω₀ = 45 с⁻¹

ε = - 8 с⁻²

R = 0,1 м

t = 5 c

_________

a - ?

1)

Угловая скорость:

ω(t) = ω₀ + ε·t

ω(5) = 45 - 8·5 = 5 с⁻¹

2

Нормальное ускорение:

aₙ = ω²·R = 5²·0,1 = 2,5 м/с²

3)

Тангенциальное ускорение:

aτ = ε·R = -8·0,1 = -0,8 м/с²

4)

Полное ускорение:

a = √ (aₙ² + aτ²) = √ (2,5² + (-0,8)²) = √ 6,89 ≈ 2,6 м/с²

Answer 2

Для нахождения полного ускорения точки, находящейся на расстоянии R = 0.1 м от оси вращения, в момент времени t = 5 секунд, мы будем использовать следующие формулы:

1. Угловая скорость (ω) и угловое ускорение (α) связаны с углом поворота (φ) следующим образом:

   ω = dφ/dt α = dω/dt

   Для нашего случая у нас уже есть уравнение для φ:

   φ = 6 + 45t - 4t^2

   Давайте найдем угловую скорость и угловое ускорение:

   ω = dφ/dt = d/dt (6 + 45t - 4t^2)

   После дифференциации получим:

   ω = 45 - 8t

   α = dω/dt = d/dt (45 - 8t)

   После дифференциации получим:

   α = -8

2. Теперь найдем радиусное (центростремительное) ускорение (a_c). Он связан с радиусом (R) и угловым ускорением (α) следующим образом:

   a_c = R * α

   a_c = 0.1 м * (-8 рад/с^2) = -0.8 м/с^2

3. Теперь найдем тангенциальное ускорение (a_t). Оно связано с радиусом (R) и угловой скоростью (ω) следующим образом:

   a_t = R * ω^2

   a_t = 0.1 м * (45 - 8t)^2

   Для момента времени t = 5 секунд:

   a_t = 0.1 м * (45 - 8*5)^2 = 0.1 м * (45 - 40)^2 = 0.1 м * 5^2 = 0.25 м/с^2

4. Теперь найдем полное ускорение (a) как векторную сумму радиусного ускорения и тангенциального ускорения:

   a = √(a_c^2 + a_t^2)

   a = √((-0.8 м/с^2)^2 + (0.25 м/с^2)^2)

   a = √(0.64 м^2/с^4 + 0.0625 м^2/с^4)

   a = √(0.7025 м^2/с^4)

   a ≈ 0.838 м/с^2

Таким образом, полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0.1 м от оси вращения в момент времени t = 5 секунд, составляет примерно 0.838 м/с^2 и направлено к центру вращения.