Question

Модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности астероида равен 0,15 м/с2. Чему будет равен модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности другого астероида, объём которого в 8 раз больше? Оба астероида однородные, сферические и состоят из железа. (Ответ выразите в м/с2).

Answer 1

g=GM/R^2

g=8*g1/4=2*g1

g=2*0,15=0,3 (м/с^2)

Answer 2

Модуль ускорения свободного падения на поверхности астероида зависит от массы астероида и радиуса астероида. Это выражается через формулу:

$g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}$,

где:

• $g$ - ускорение свободного падения,
• $G$ - гравитационная постоянная ($6,67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2$),
• $M$ - масса астероида,
• $R$ - радиус астероида.

Для первого астероида (астероид 1) мы имеем:

$g_1 = \frac{{G \cdot M_1}}{{R_1^2}}$,

где $M_1$ - масса астероида 1 и $R_1$ - его радиус.

Для второго астероида (астероид 2), который имеет 8 раз больший объем, масса будет 8 раз больше, так как оба астероида однородны и состоят из одного материала. Поэтому:

$M_2 = 8 \cdot M_1$.

Теперь, чтобы найти $g_2$ для астероида 2, используем ту же формулу, но с новыми значениями:

$g_2 = \frac{{G \cdot M_2}}{{R_2^2}}$.

Мы знаем, что $M_2 = 8 \cdot M_1$, поэтому:

$g_2 = \frac{{G \cdot (8 \cdot M_1)}}{{R_2^2}}$.

Теперь сравним $g_2$ с $g_1$:

$\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{G \cdot (8 \cdot M_1)}}{{R_2^2}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{G \cdot M_1}}$.

Здесь $G$ и $M_1$ отменяются:

$\frac{{g_2}}{{g_1}} = 8 \cdot \frac{{R_1^2}}{{R_2^2}}$.

Мы знаем, что $V_2 = 8 \cdot V_1$, где $V_2$ - объем астероида 2, а $V_1$ - объем астероида 1. И так как астероиды сферические, то:

$\frac{{R_2^3}}{{R_1^3}} = \frac{{V_2}}{{V_1}} = \frac{{8 \cdot V_1}}{{V_1}} = 8$.

Теперь мы можем найти отношение $R_1^2 / R_2^2$:

$\frac{{R_1^2}}{{R_2^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}}$