Question

Индуктивность катушки колебательного контура L=5 мГн, емкость конденсатора C=0,05 мкФ, сопротивление R=10 Ом. Определить количество полных колебаний, по которой амплитуда тока уменьшится в e раз. P.S. Нужно подробное решение, спасибо

Answer 1

Ответ:

Дано:

L=5*10^(-3) Гн, С=10^(-8)Ф, R= 2 Ом

Резонансная круговая частота колебаний w0=1/(значок корня) из LC=1/(всё под корнем)5*10^-3*10^-8=141421,4рад/с.

Доьротностт клебательного контура определяется по формуле:

Q=woL/R=141421,4*0,005/2=353,6

Answer 2

Для определения количества полных колебаний, по которым амплитуда тока уменьшится в e раз, мы можем использовать формулу для затухающих колебаний в колебательном контуре:

$I(t) = I_0 e^{-\frac{Rt}{2L}}\cos(\omega t)$

где:

• $I(t)$ - текущая амплитуда тока в момент времени $t$.
• $I_0$ - начальная амплитуда тока в момент времени $t = 0$.
• $R$ - сопротивление в контуре (в данном случае, $R = 10 \, \Omega$).
• $L$ - индуктивность катушки (в данном случае, $L = 5 \, \text{мГн}$).
• $\omega$ - угловая частота колебаний, которую можно выразить через $L$ и $C$:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

• $e$ - число Эйлера, приближенно равное 2.71828.

Мы хотим найти момент времени $t$, когда $I(t)$ станет равной $I_0 / e$. То есть, нам нужно решить уравнение:

$I_0 e^{-\frac{Rt}{2L}} = \frac{I_0}{e}$

Для упрощения этого уравнения мы можем сократить $I_0$ с обеих сторон:

$e^{-\frac{Rt}{2L}} = \frac{1}{e}$

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

$\ln\left(e^{-\frac{Rt}{2L}}\right) = \ln\left(\frac{1}{e}\right)$

Используем свойство логарифмов, что $\ln(e^x) = x$, чтобы упростить левую сторону:

$-\frac{Rt}{2L} = -1$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

$\frac{Rt}{2L} = 1$

$Rt = 2L$

$t = \frac{2L}{R}$

Подставим известные значения $L$ и $R$:

$t = \frac{2 \times 5 \times 10^{-3}}{10} = 10^{-2} \, \text{с} = 0.01 \, \text{с}$

Теперь у нас есть момент времени, через который амплитуда тока уменьшилась в $e$ раз. Чтобы найти количество полных колебаний $N$, которые соответствуют этому времени, мы можем использовать следующее соотношение:

$N = \frac{t}{T}$

где $T$ - период колебаний. Период колебаний можно выразить через угловую частоту $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Теперь подставим значение $\omega$, рассчитанное ранее:

$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{\sqrt{LC}}} = 2\pi\sqrt{LC}$

Теперь мы можем найти $N$:

$N = \frac{0.01}{2\pi\sqrt{5\times 10^{-3}\times 0.05\times 10^{-6}}}$

Вычислим это численно:

$N \approx \frac{0.01}{2\pi\sqrt{2.5\times 10^{-10}}}$

$N \approx \frac{0.01}{2\pi\times 5\times 10^{-5}}$