Question

Точка здійснює коливання за законом x = A cos (ωt + φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) х(0) = 2 см, v(0) < 0; б) х(0) = – 2 см, v(0) < 0; в) х(0) = 2 см, v(0) > 0; г) х(0) = – 2 см, v(0) > 0. Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

x(t) = A·cos (ω·t + φ)

A = 4 см

_______________

φ - ?

Запишем уравнение в виде:

x(t) = 4·cos (ω·t + φ)

Типовое решение данной задачи подробно приведем на примере б). Остальные решаются аналогично!

б)

x(0) = - 2 см;  v(0) < 0

Начальную фазу выразим как:

φ = arcos (x(0)/A) = arccos (-2/4)  = arccos (-1/2)

Значению аргумента (-2) удовлетворяют два значения угла:

φ₁ = π/3   и φ₂ = 2π - π/3 = 5π / 3

Для того, чтобы решить, какое из этих значений угла удовлетворяет условию v(0) < 0 , находим производную:

v(t) = x' = - ω·A·sin (ω·t +φ)

При t=0:

v₁ (0) = - ω·A·sin (π/3) =  - √3 /2· ω·A

v₂ (0) = - ω·A·sin (5·π/3) =  + √3 /2· ω·A

Так как А>0  и ω>0, то условию удовлетворяет только первое значение фазы.

φ = π / 3

Строим диаграмму:

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам потрібно використовувати деякі основні рівняння руху для гармонічних коливань. Основні рівняння руху для гармонічних коливань мають вигляд:

1. Рівняння положення: x(t) = A cos(ωt + φ)
2. Рівняння швидкості: v(t) = -Aω sin(ωt + φ)
3. Рівняння прискорення: a(t) = -Aω^2 cos(ωt + φ)

Завдання а) x(0) = 2 см, v(0) < 0: Ми знаємо, що x(0) = 2 см. Підставимо це значення в рівняння положення: 2 см = 4 см * cos(φ)

Поділимо обидві сторони на 4 см: cos(φ) = 0.5

Тепер знайдемо φ: φ = arccos(0.5) = π/3 або 60 градусів.

Завдання б) x(0) = -2 см, v(0) < 0: Аналогічно, підставляємо x(0) = -2 см в рівняння положення: -2 см = 4 см * cos(φ)

Поділимо обидві сторони на 4 см: cos(φ) = -0.5

Тепер знайдемо φ: φ = arccos(-0.5) = 2π/3 або 120 градусів.

Завдання в) x(0) = 2 см, v(0) > 0: Знову підставимо x(0) = 2 см в рівняння положення: 2 см = 4 см * cos(φ)

Поділимо обидві сторони на 4 см: cos(φ) = 0.5

Тут φ = π/3 або 60 градусів, але важливо врахувати, що v(0) > 0, що означає, що об'єкт рухається в напрямку збільшення x. Отже, φ залишається 60 градусів.

Завдання г) x(0) = -2 см, v(0) > 0: Знову підставимо x(0) = -2 см в рівняння положення: -2 см = 4 см * cos(φ)

Поділимо обидві сторони на 4 см: cos(φ) = -0.5

Тут φ = 2π/3 або 120 градусів, і оскільки v(0) > 0, φ залишається 120 градусів.

Тепер ми маємо значення φ для кожного з чотирьох випадків. Щоб побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0, просто використовуйте значення φ і значення початкового положення x(0) для побудови вектора початкового положення в системі координат.

У всіх чотирьох випадках вектор початкового положення матиме величину A = 4 см та напрямок, визначений φ.