Question

Колебания груза массой 1 кг на пружине описывается уравнением х = 0,1·соѕ(ωt+π/2) (м). Вычислите: а) полную механическую энергию системы; б) максимальную скорость груза во время его колебания; в) жесткость пружины.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Уравнение колебаний:

x(t) = 0,1·cos (ω·t + π/2)

Скорость - первая производная от координаты:

V(t) = - 0,1·ω·sin (ω·t + π/2))

Модуль максимального значения скорости:

V₀ = 0,1·ω   м/с

Полная механическая энергия системы:

Eп = m·V₀²/2   =  1·(0,1·ω)² / 2 = 0,005·ω²    Дж

Жесткость пружины найдем из формулы:

ω = √ (k/m)

ω² = k / m

k = m·ω² = 1·ω²   Н/м

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие шаги:

а) Полная механическая энергия системы. б) Максимальная скорость груза во время его колебаний. в) Жесткость пружины.

Давайте начнем с каждого из этих пунктов по очереди.

а) Полная механическая энергия системы: Механическая энергия системы складывается из кинетической энергии (KE) и потенциальной энергии (PE).

Кинетическая энергия (KE) груза: KE = (1/2) * масса * скорость^2

Мы знаем, что масса груза (m) равна 1 кг, а максимальная скорость груза (которую мы найдем в пункте б) будет использована для вычисления кинетической энергии.

б) Максимальная скорость груза во время его колебаний: Максимальная скорость груза достигается, когда его перемещение (x) достигает максимального значения. Из уравнения колебаний можно найти максимальное значение x:

x_max = 0.1 м

Максимальная скорость будет достигнута в момент времени, когда синус в уравнении колебаний достигает своего максимального значения (1). Таким образом, угол в синусе должен быть равен 0:

ωt_max + π/2 = 0

Отсюда мы можем найти максимальное время (t_max), на котором максимальная скорость достигается:

ωt_max = -π/2 t_max = -π/2ω

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, мы дифференцируем уравнение x по времени t:

v_max = dx/dt |(t=t_max)

v_max = -0.1ω * sin(ωt_max)

v_max = -0.1ω * sin(-π/2)

v_max = -0.1ω

Теперь у нас есть значение максимальной скорости.

в) Жесткость пружины: Уравнение колебаний пружины можно записать следующим образом:

x(t) = A * cos(ωt + φ)

где A - амплитуда колебаний, φ - начальная фаза колебаний, ω - циклическая частота.

Сравнивая это уравнение с данным уравнением колебаний, мы видим, что:

A = 0.1 м

φ = π/2

Жесткость пружины (k) связана с циклической частотой (ω) следующим образом:

k = масса * ω^2

k = 1 кг * (ω^2)

Мы уже знаем, что ω = 1 рад/с (так как амплитуда колебаний равна 0.1 м), поэтому:

k = 1 * (1^2) = 1 Н/м

Таким образом, жесткость пружины равна 1 Н/м.

Итак, ответы на ваши вопросы: а) Полная механическая энергия системы: Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии. KE = (1/2) * м * v_max^2 KE = (1/2) * 1 кг * (-0.1 ω)^2 KE = 0.005 J (джоулей)

PE = (1/2) * k * A^2 PE = (1/2) * 1 Н/м * (0.1 м)^2 PE = 0.005 J (джоулей)

Полная механическая энергия (E) равна сумме кинетической и потенциальной энергии: E = KE + PE E = 0.005 J + 0.005 J E = 0.01 J (джоулей)

б) Максимальная скорость груза: Максимальная скорость груза равна 0.1 рад/с.

в) Жесткость пружины: Жесткость пружины равна 1 Н/м.