Question

Тело совершает гармонические колебания. Максимальная скорость колеблющего тела равна 11 м/с. Найти величину средней скорости за время, в течение которого оно переместилось из одного крайнего положения в другое.

Answer 1

Дано:

υ_max = 11 м/с

t = T/2

S = 2*x_max

υ_ср - ?

Решение:

За одно колебание тело проходит путь L, равный четырём амплитудам x_max (L = 4*x_max). Этот путь оно проходит за время τ, равное периоду (τ = T). Колебательное движение - это движение, которое повторяется. Даже в рамках одного колебания тело, двигаясь сначала в одну сторону, потом - в другую, повторяет свои действия. Оно проходит один и тот же путь и затрачивает одно и то же время на преодоление расстояния в каждом из направлений (если пренебречь силами трения и сопротивления).

Тогда половина пути будет равна (S = L/2 = 2*x_max), а время, за которое тело проходит эту половину, равно половине периода (t = τ/2 = T/2). Средняя скорость находится через отношение всего пути к общему времени. Условиями задачи общий путь определён как S, а время - как t. Тогда:

υ_ср = S/t =>

=> υ_ср = 2*x_max/(T/2) = 4*x_max/T

T = 2π/ω => υ_cp = 4*x_max/(2π/ω) = 4*x_max*ω/(2π)

Скорость - это вторая производная координаты. Формула координаты тела, движение которого подчиняется гармоническому закону:

x(t) = x_max*cos(ω*t) - для случая, когда движение происходит из точки максимального отклонения от положения равновесия

x(t) = x_max*sin(ω*t) - для случая, когда движение происходит из положения равновесия

Допустим, за движением тела начали наблюдать, когда оно находилось в точке максимального отклонения от положения равновесия, тогда скорость тела будет изменяться по закону:

υ(t) = x'(t) = x_max*ω*(-sin(ω*t))

По аналогии с координатой, где х_max - амплитуда, т.е. модуль значения координаты, дальше которой тело не может двигаться при данных условиях, получаем для скорости следующее:

υ_max = x_max*ω - выразим циклическую частоту:

ω = υ_max/x_max, тогда:

υ_cp = 4*x_max*ω/(2π) = 4*x_max*(υ_max/x_max)/(2π) = 4*υ_max/(2π) = 2*υ_max/π = 2*11/3,14 = 7,00... = 7 м/с

Ответ: 7 м/с.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно знать, какая форма колебаний имеет тело: например, если это гармонические колебания, то мы можем использовать формулу для вычисления средней скорости.

Средняя скорость \( v_{\text{ср}} \) при равномерном прямолинейном движении вычисляется по формуле:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{{\text{путь}}}{{\text{время}}} \]

Также, при гармонических колебаниях с максимальной скоростью \( V_{\text{max}} \), средняя скорость \( v_{\text{ср}} \) равна половине максимальной скорости \( V_{\text{max}} \).

\[ v_{\text{ср}} = \frac{{V_{\text{max}}}}{2} \]

Исходя из вашего вопроса, максимальная скорость колеблющегося тела равна 11 м/с. Следовательно, средняя скорость за время, в течение которого оно переместилось из одного крайнего положения в другое, будет половиной максимальной скорости:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{{11 \, \text{м/с}}}{2} = 5.5 \, \text{м/с}} \]

Таким образом, средняя скорость за это время будет составлять 5.5 м/с.