Question

Мальчик стоит на эскалаторе, поднимающемся вверх со скоростью v. Ровно на половине пути он поравнялся со своей учительницей, стоящей на соседнем эскалаторе, движущемся вниз с той же скоростью. Как мальчику быстрее добраться до учительницы, если он может двигаться по эскалатору с постоянной скоростью u > v: побежать сначала вверх, сменить эскалатор и побежать вниз, или побежать сначала вниз, сменить эскалатор и побежать навстречу вверх? Считайте, что в обоих случаях учительница не достигает конца эскалатора к моменту встречи. ТОЛЬКО ОТВЕТ

Answer 1

Дано:

L, υ, u

u > υ

τ_наименьшее - ?

Решение:

Рассматриваем движение мальчика и учительницы относительно неподвижного тела, например, земной поверхности.

Если мальчик побежит вверх, то время, которое он затратит, будет равняться:

τ = t1 + t2, где

t1 = (L/2)/(υ + u) = (L/2)*(1/(υ + u)) - время, чтобы добежать до верха

За это время учительница проедет вниз:

s = υ*t1 = υ(L/2)*(1/(υ + u))

Временем на переход между эскалаторами можно пренебречь. Тогда вниз мальчику надо будет пробежать путь, равный:

S = L/2 + s + s', где s' = υ*t2 - путь учительницы за время t2

S = L/2 + υ(L/2)*(1/(υ + u)) + υ*t2 = (L/2)*(1 + υ/(υ + u)) + υ*t2 = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u) + υ*t2

t2 = S/(υ + u) = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u)² + υ*t2/(υ + u)

t2 - υ*t2/(υ + u) = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u)²

t2*(1 - υ/(υ + u)) = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u)²

t2*u/(υ + u) = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u)²

t2*u = (L/2)*(2υ + u)/(υ + u)

t2 = (L/2)*(2υ + u)/(u(υ + u))

τ1 = (L/2)*(1/(υ + u)) + (L/2)*(2υ + u)/(u(υ + u)) = (L/2)*(1/(υ + u) + (2υ + u)/(u(υ + u))) = (L/2)*2(υ + u)/(u(υ + u)) = L/u.

Если мальчик побежит вниз, то:

t1 = (L/2)/(u - υ) = (L/2)*(1/(u - υ))

Учительница проедет:

s = υ(L/2)*(1/(u - υ))

Остаток пути, который должен преодолеть мальчик, и то расстояние s', на которое ещё продвинется учительница, в сумме дают:

S + s' = L/2 - s

(u - υ)*t2 + υ*t2 = L/2 - υ(L/2)*(1/(u - υ))

t2*u = (L/2)*(1 - υ/(u - υ)) = (L/2)*(u - 2υ)/(u - υ)

t2 = (L/2)*(u - 2υ)/(u(u - υ))

τ2 = (L/2)*(1/(u - υ)) + (L/2)*(u - 2υ)/(u(u - υ)) = (L/2)*(1/(u - υ) + (u - 2υ)/(u(u - υ))) = (L/2)*2(u - υ)/(u(u - υ)) = L/u.

τ1 = τ2.

Выходит, что выбор отправной точки (бежать вверх или вниз) неважен, так как затрачиваемое время одинаково.

Answer 2

Мальчику быстрее добраться до учительницы, если он сначала побежит вниз, сменит эскалатор и побежит навстречу вверх.

Когда мальчик побежит вверх, он будет двигаться со скоростью (u - v) относительно земли, так как его скорость относительно эскалатора (v) будет компенсирована скоростью эскалатора вниз (-v). Когда мальчик сменит эскалатор, его скорость относительно земли станет (u + v) и он будет двигаться вниз. Таким образом, его общая скорость относительно земли будет (u - v) + (u + v) = 2u.

Если мальчик сначала побежит вниз, сменит эскалатор и побежит навстречу вверх, его скорость относительно земли будет (-u - v) + (u + v) = 0. То есть он будет стоять на месте относительно земли.

Следовательно, мальчик быстрее доберется до учительницы, если он сначала побежит вниз, сменит эскалатор и побежит навстречу вверх.