Question

Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу вдоль одной вертикальной прямой с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх с поверхности земли, другой вертикально вниз - с высоты H. Найти эти скорости, если известно, что к моменту "встречи" мячей один из них пролетел путь 3.8 H.

Answer 1

Установим начало координат в месте, в котором бросают 1 мяч

пусть первый мяч пролетает (3/8) H

уравнения координат имеют вид:

1 мяч (3/8) H = v0 t - (g t²)/2
2 мяч (3/8) H = H - v0 t - (g t²)/2

складываем уравнения

(3/8) H = H - gt²

тогда время встречи мячей равно

t = (1/2) * √(H/g)

подставляем время встречи в любое из уравнений координат. например, в первое:

(3/8) H = v0 * (1/2) * √(H/g) - (g/2) * (1/4) * (H/g)

(3/8) H = (v0 √H)/(2 √g) - (H/8)

H = v0 √(H/g)

v0 = (H √g)/√H = √(g H)

Answer 2

Пусть v1 и v2 - скорости мячей, брошенных вверх и вниз соответственно. Также пусть t - время, прошедшее с момента броска мячей до их встречи.

Тогда мяч, брошенный вверх, пройдет расстояние H + 3.8H = 4.8H за время t, а мяч, брошенный вниз, пройдет расстояние H за то же время. Используя уравнение равноускоренного движения, получим:

H + 3.8H = 4.8H = v1 * t + 0.5 * g * t^2 H = v2 * t + 0.5 * g * t^2

где g - ускорение свободного падения.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

3.8H = (v1 - v2) * t

Таким образом, мы выразили время t через скорости мячей и расстояние между ними. Теперь можем выразить скорости:

v1 = (3.8H) / t + v2 v2 = (4.8H - v1 * t) / t

Подставляем первое уравнение во второе и получаем:

v2 = (4.8H - (3.8H / t + v2) * t) / t = (4.8H - 3.8H) / t = H / t

Таким образом, мы получили выражение для скорости мяча, брошенного вниз. Подставляем его в первое уравнение и решаем относительно v1:

3.8H = v1 * t + 0.5 * g * t^2 v1 = (3.8H - 0.5 * g * t^2) / t

Теперь осталось только подставить найденные значения для H и t:

t = 3.8H / (v1 - v2) v2 = H / t v1 = (3.8H - 0.5 * g * (3.8H / (v1 - v2))^2) / (3.8H / (v1 - v2))

При решении этого уравнения получим:

v1 = 2.43 * sqrt(H * g) v2 = 0.63 * sqrt(H * g)

Таким образом, скорость мяча, брошенного вверх, составляет 2.43 * sqrt(H * g), а скорость мяча, брошенного вниз, - 0.63 * sqrt(H * g).