Question

Знайдіть шостий член геометрічної прогресії , якщо її другий член дорівнює -4, а сума першого і третього членів дорівнює 10

Answer 1

$\begin{cases}b_2=-4\\b_1+b_3=10\end{cases}\\\\\\b_2=b_1q\\b_3=b_1q^2\\\\\begin{cases}b_1q=-4\\b_1+b_1q^2=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q=-4\\b_1(1+q^2)=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1=-\frac4q\\-\frac4q(1+q^2)=10\end{cases}\\\\-\frac4q(1+q^2)=10\\-4\cdot(1+q^2)=10q\\-4-4q^2=10q\\4q^2+10q+4=0\\2q^2+5q+2=0\\D=25-4\cdot2\cdot2=9\\q_{1,2}=\frac{-5\pm3}4\\q_1=-2\\q_2=-\frac12$

$\begin{cases}b_{1_1}=2\\q_1=-4\end{cases}\quad\quad\quad u\quad\quad\quad\begin{cases}b_{1_2}=8\\q_2=-\frac12\end{cases}\\b_1=2,\;q=-2\Rightarrow b_6=b_1q^5=2\cdot(-32)=-64\\\\b_1=8,\;q=-\frac12\Rightarrow b_6=b_1q^5=8\cdot\left(-\frac12\right)^5=-\frac8{32}=-\frac14$

Answer 2

Нехай $a_1$ - перший член геометричної прогресії, а $q$ - її знаменник.

За умовою задачі:

$a_2 = -4$

$a_1 + a_3 = 10$

Використовуючи формулу для знаходження членів геометричної прогресії, маємо:

$a_2 = a_1q$

$a_3 = a_2q = a_1q^2$

Підставляємо ці вирази в другу умову і отримуємо:

$a_1 + a_1q^2 = 10$

$a_1(q^2 + 1) = 10$

$a_1 = \frac{10}{q^2 + 1}$

Тепер можемо знайти шостий член геометричної прогресії:

$a_6 = a_1q^5 = \frac{10q^5}{(q^2 + 1)^2}$

Отже, шостий член геометричної прогресії дорівнює $\frac{10q^5}{(q^2 + 1)^2}$. Для того щоб знайти значення $q$, необхідно вирішити квадратне рівняння з другої умови:

$a_1(q^2 + 1) = 10$

$\frac{10}{q^2 + 1}(q^2 + 1) = 10$

$q^2 + 1 = 1$

$q = 0$ або $q = -1$

Якщо $q = 0$, то всі члени прогресії будуть дорівнювати 0, що не відповідає умовам задачі.

Отже, $q = -1$, тоді шостий член геометричної прогресії буде:

$a_6 = \frac{10(-1)^5}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{40}{9}$

Відповідь: шостий член геометричної прогресії дорівнює $\frac{40}{9}$.