Question

Три шарика, масса соответственно равна 2г, 3г, 5г, укреплены на невесомом стрежне так, что расстояние между центрами двух соседних шаров равен 10см. Найти положение центра массы системы.

Answer 1

Расположим стержень в горизонтальном положении и предположим, что центр масс будет находиться между шариками массами 2 грамма и 3 грамма. Воспользуемся уравнением момента сил: $M=F*l$, где М - момент сил, F - сила, с которой действует шарик ( $F=m*g$, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения) и l - расстояние от шарика до центра масс. При равновесии, моменты сил, которые вращают стержень в одну сторону равны моментам сил, которые вращают стержень в противоположную сторону, тогда:
$M_{1}= M_{2}+M_{3}$
$F_{1}*l_{1}=F_{2}*l_{2}+F_{3}*l_{3}$
$m_{1}*l_{1}=m_{2}*l_{2}+m_{3}*l_{3}$ (g сократилось)
Пусть  $l_{2}=x$, тогда  $l_{1}=10-x$, а  $l_{3}=10+x$ 
Получим уравнение:
$2*(10-x)=3*x+5*(10+x)$
Решение данного уравнения: x = -6, но такого быть не может, так расстояние не может быть отрицательным!!!
Тогда предположим, что центр масс будет находиться между шариками массами 3 грамма и 5 грамм. Повторяя все вышесказанные действия и взяв расстояние  $l_{2}=x,$ получим следующее уравнение:
$2*(10+x)+3*x=5*(10-x)$
Отсюда получаем, что x = 3, значит центр масс расположен на расстоянии 3 сантиметра от шарика массой 3 грамма в сторону шарика массой 5 грамм.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения координат центра масс системы точек:

$x_c = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n m_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$

$y_c = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n m_i y_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$

$z_c = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n m_i z_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$

где $m_i$ - масса i-ой точки, а $x_i$, $y_i$, $z_i$ - ее координаты.

Для начала найдем суммарную массу системы:

$m = 2 г + 3 г + 5 г = 10 г$

Затем выразим координаты каждой из точек, используя условие задачи. Пусть точка 1 расположена в начале координат (0, 0, 0), тогда координаты точек 2 и 3 будут соответственно (0, 0, 10см) и (0, 0, 20см).

Теперь можем подставить все полученные данные в формулу для координат центра масс:

$x_c = \dfrac{2г \cdot 0 + 3г \cdot 0 + 5г \cdot 0}{10г} = 0$

$y_c = \dfrac{2г \cdot 0 + 3г \cdot 0 + 5г \cdot 0}{10г} = 0$

$z_c = \dfrac{2г \cdot 0 + 3г \cdot 10см + 5г \cdot 20см}{10г} = 16 см$

Ответ: координаты центра масс системы точек равны (0, 0, 16 см).