Question

Неупругое рассеяние лазерного излучения веществом может быть использовано для его охлаждения – этот метод получил название лазерного антистоксового охлаждения. Метод основан на том, что поглощаемые и испускаемые затем фотоны имеют различную энергию. За какое время Dt нанокристалл кремния радиусом r = 25 нм охладится на DT = 1о под воздействием направленных на него встречных лучей лазера с длиной волны l = 325 нм и суммарной интенсивностью I = 41 Вт/см2, если известно, что энергия оптического фонона в кремнии Eфон = 65 мэВ. Считать, что вероятность поглощения фотонов нанокристаллами составляет p = 0.1 % и процесс происходит при температуре, близкой к комнатной

Answer 1

Поскольку форма нано-кристалла не дана, то мы далее будем считать, что он представляет собой нечёткое пространственное пятно, напоминающее сферу. Так как, в случае его чёткой кубической формы, соотношение его объёма и площади поперечного сечения могут отличаться в 1.5 раза, то, таким образом, все найденные величины, без учёта этой специфики будут иметь значительную погрешность, т.е. до 1.5 раз.

Раз кремний охлаждается, значит, испускаемые фотоны имеют более высокую энергию, чем поглощаемые, что может быть объяснено ограниченностью набора фото-квантов, которые может испускать атом.

Ещё одно важное замечание. Поскольку фотон с длиной волны:
$1$ нм имеет энергию $1240$ эВ, то фотон с энергией $65$ эВ имеет длину волны $19$ нм, что как раз хорошо бы подошло для этой задачи, поскольку длина волны испущенного фотона должна быть меньше длины поглощённого. А вот если брать без поправки исходное данное в задаче значение $65$ мэВ, т.е. в 1000 раз меньше, то длина волны получится $19$ мкм $= 19 \ 0000$ нм, что в $\approx 60$ раз больше длины волны падающих фотонов лазера, а значит, энергия поглощалась бы кристаллом, и никакого антистоксового охлаждения бы не наблюдалось. Таким образом, в условии задачи необходимо сделать исправление:

энергия оптического фонона в кремнии $E_\varphi$ равна НЕ $65$ мэВ, а просто – $65$ эВ !


Энергию, отнимаемую у вещества в таком одиночном процессе можно вычислить, как разность энергий испускаемого и поглощаемого $\gamma$-кванта :

$\Delta E_o = E_\varphi - E_\lambda ,$ где $E_\lambda$ – энергия одного фотона поглощаемых лазерных лучей.

$E_\lambda = h \nu = h \cdot \frac{c}{l} = \frac{hc}{l} ,$ где $l$ – длина волны лазерных лучей.


Мощность потока $P$ лазерного излучения, попадающего на кристалл, можно вычислить, как $P = I \cdot S = \pi I r^2$ ;

Полное число фотонов $N ,$ образующих этот поток за время $\Delta t ,$ можно найти, как: $N = P \Delta t / E_\lambda = \frac{ \pi I }{ E_\lambda } \cdot r^2 \Delta t .$

При этом число фотонов участвующих в процессе охлаждения составляет лишь малую часть от всего потока, так что, учитывая вероятность поглощения $p ,$ получим, что полное число фотонов $K ,$ поглощаемых кремнием $K = pN = \frac{ \pi p I }{ E_\lambda } \cdot r^2 \Delta t .$


Полную энергию $E ,$ отнятую у нано-кристалла за время $\Delta t ,$ можно найти, перемножив полное число процессов антистоксового пере-испускания, равное числу поглощённых фотонов, на энергию, отнимаемую у вещества в одиночном процессе пере-испускания:

$E = K \cdot \Delta E_o = \frac{ \pi p I }{ E_\lambda } \cdot r^2 \Delta t \cdot ( E_\varphi - E_\lambda ) =$

$= \pi p I r^2 \Delta t \cdot ( E_\varphi / E_\lambda - 1 ) = \pi p I r^2 \Delta t \cdot ( \frac{l}{hc} \cdot E_\varphi - 1 ) .$

Учтём, что: $E_\varphi = U_{eB} \cdot e ,$ тогда: $E = \pi p I r^2 \Delta t \cdot ( \frac{el}{hc} \cdot U_{eB} - 1 ) .$


С другой стороны полную энергию $E ,$ отнятую у нано-кристалла за время $\Delta t ,$ можно найти через:

молярную теплоёмкость $c_\mu \approx 20$ Дж/(K·моль) кремния,
его массу $m ,$ молярную массу $\mu \approx 0.028$ кг/моль,
плотность $\rho \approx 2 \ 330$ кг/м³ и объём $V ,$ как:

$E = \frac{m}{\mu} c_\mu \Delta T = \frac{\rho V}{\mu} c_\mu \Delta T = \frac{ 4 \pi }{3} \frac{ \rho r^3 }{\mu}c_\mu \Delta T .$


Приравняв эти два выражения для отнятой у нано-кристалла кремния энергии, получим:

$\pi p I r^2 \Delta t \cdot ( \frac{el}{hc} \cdot U_{eB} - 1 ) = \frac{ 4 \pi }{3} \frac{ \rho r^3 }{\mu} c_\mu \Delta T$ ;

$p I \Delta t \cdot ( \frac{el}{hc} \cdot U_{eB} - 1 ) = \frac{ 4 \rho r }{ 3 \mu } c_\mu \Delta T$ ;

$\Delta t = \frac{ 4 c_\mu \rho r \Delta T }{ 3 p I \mu ( \frac{el}{hc} \cdot U_{eB} - 1 ) }$ ;

$I = 41$ Вт/см² $= 41$ Вт $/(10^{-2}$м $)^2 = 41$ Вт $/(10^{-4}$м² $) = 41 \cdot 10^4$ Вт/м² .

$\Delta t \approx \frac{ 4 \cdot 20 \cdot 2330 \cdot 25 \cdot 10^{-9} \cdot 1 }{ 3 \cdot 0.001 \cdot 41 \cdot 10^4 \cdot ( \frac{ 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 325 \cdot 10^{-9} }{ 6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8 } \cdot 65 - 1 ) }$ сек $\approx$

$\approx \frac{ 4660 \cdot 10^{-6} }{ 1230 \cdot ( \frac{ 520 \cdot 10^{-28} }{ 20 \cdot 10^{-26} } \cdot 65 - 1 ) }$ сек $= \frac{ 4660 \cdot 10^{-6} }{ 1230 \cdot ( 26 \cdot 10^{-2} \cdot 65 - 1 ) }$ сек $=$

$= \frac{ 4660 \cdot 10^{-6} }{ 1230 \cdot ( 16.9 - 1 ) }$ сек $= \frac{ 4660 }{ 123 \cdot 159 } \cdot 10^{-6}$ сек $\approx 0.24$ мс .



О т в е т : $\Delta t \approx 0.24$ мс

Answer 2

Для расчета времени охлаждения нанокристалла сначала необходимо определить сколько фотонов будет поглощаться в секунду нанокристаллом при заданных параметрах.

Известно, что энергия оптического фонона в кремнии Eфон = 65 мэВ, что соответствует длине волны λфон = hc/Eфон = 19 нм, где h – постоянная Планка, c – скорость света. Это значит, что лазерное излучение с длиной волны l = 325 нм не сможет непосредственно взаимодействовать с оптическими фононами кремния.

Однако, в кремнии существуют также фононы других типов, которые могут взаимодействовать с лазерным излучением. В частности, для кремния возможно рассеяние фононов Рэмана, при котором лазерный фотон поглощается кремнием, а кристаллическая решетка кристалла возбуждается до состояния с более высокой энергией, чем было до этого. Затем, решетка кристалла испускает фонон Рэмана, который уносит избыточную энергию, и кристалл охлаждается.

Вероятность такого процесса определяется формулой Планка:

p = [n(λL)/n(λS)] * exp(-ΔE/kT)

где n(λ) - показатель преломления вещества при длине волны λ, ΔE = h(νL - νS) - разность энергий фотона лазера и фонона Рэмана, k - постоянная Больцмана, T - температура, νL и νS - частоты лазерного фотона и фонона Рэмана соответственно.

Для кремния с показателем преломления n = 3.42, ΔE = 2.81 эВ, T = 300 К, νL = c/l = 9.23 * 10^14 Гц и λS = hc/Eфон = 19 нм, получаем:

p = [n(λL)/n(λS)] * exp(-ΔE/kT) ≈ 7.6 * 10^-5

Таким образом, вероятность поглощения фотонов кремнием при заданных параметрах довольно мала, но все же существенна.

Чтобы определить сколько фотонов поглощается нанокристалл