Question

Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, второй конец которой закреплен в стене. Через какую долю периода он пройдет четверть амплитуды от положения, где его скорость равна нулю?

Answer 1

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окресности сжатия     $x$    – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения     $x$    – это степень растяжения.

Тогда искомая точка:     $x = \frac{3}{4}A \ ;$

$\frac{3}{4} A = A \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} = \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} \approx 1 - \frac{ (\omega t)^2 }{2} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx 1 - \frac{3}{4} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx \frac{1}{4} \ ,$

$(\omega t)^2 \approx \frac{1}{2} \ ,$

$\omega t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$\omega = \frac{ 2 \pi }{T} \ ,$

$\frac{ 2 \pi }{T} t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$t \approx \frac{T}{ 2 \sqrt{2} \pi } \approx 0.11 \ T \ .$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения энергии и гармонические колебания. Пусть $m$ - масса шара, $k$ - жесткость пружины, $L$ - длина стержня, $r$ - радиус отверстия в шаре.

Период колебаний шара с отверстием на вершине можно найти, используя формулу для периода колебаний математического маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgL}},$ где $I$ - момент инерции математического маятника, равный $mL^2$, а $g$ - ускорение свободного падения.

Положение, где скорость шара равна нулю, соответствует максимальной амплитуде колебаний. Энергия колебаний, сохраняясь, переходит между кинетической и потенциальной. Когда шар достигает максимальной амплитуды, всю его потенциальную энергию преобразуются в кинетическую и наоборот. В этот момент скорость шара равна нулю.

Из закона сохранения энергии мы можем записать: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mgr(1 - \cos\theta),$ где $x$ - смещение шара от положения равновесия, $v$ - скорость шара в максимальной амплитуде, $\theta$ - угол отклонения шара от вертикали.

Чтобы найти максимальную амплитуду, мы можем приравнять механическую энергию в положении, где скорость равна нулю, к потенциальной энергии на максимальной амплитуде: $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mgr(1 - \cos\theta_{max}).$ Здесь мы использовали тот факт, что кинетическая энергия в положении, где скорость равна нулю, равна нулю.

Решая последнее уравнение относительно максимальной амплитуды $A$, получаем: $A = \sqrt{\frac{2mgr(1-\cos\theta_{max})}{k}}.$

Четверть амплитуды соответствует углу $\theta_{max}/4$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение и деля обе части на $A$, получаем долю