Question

Двухполюсник, состоящий из последовательно соединённых катушки (индуктивность L=1 Гн, внутреннее активное сопротивление r=100 Ом) и конденсатора С, подключён к сети 220 В. При каком значении ёмкости С напряжение на катушке Uк будет максимальным? Вычислить это напряжение, а также соответствующее напряжение Uс на конденсаторе. Построить векторную диаграмму напряжений на этом двухполюснике

Answer 1

1)
Будем считать, что частота промышленного тока равна
f = 50 Гц
Тогда циклическая частота:
ω = 2π*f = 100π с⁻¹

2)
Активное сопротивление цепи:
R = 100 Ом

Реактивное сопротивление катушки:
XL = ω*L = 100π Ом

Реактивное сопротивление конденсатора:
Xc = 1/(ω*C) = 1 / (100π*C)

Полное сопротивление цепи:
Z = √ (R² + (XL-Xc)²)

3)
Сила тока в цепи:
I = U / Z
Очевидно, что сила тока максимальна, если
(XL-Xc)² = 0
Тогда:
Imax = U/R = 220/100 = 2,2 А

XL=Xc
100π = 1/(100π*C)
Отсюда емкость:
С = 1/(100π)² ≈ 10*10⁻⁶ Ф      или    С = 10 мкФ

Uc=I*Xc = 2,2*1/(ω*C) = 2,2/(100π*10*10⁻⁶) ≈ 700 B

Answer 2

Данный двухполюсник представляет собой последовательное соединение катушки и конденсатора, образующее резонансный контур. Ёмкость конденсатора С влияет на резонансную частоту контура, а также на амплитуду напряжения на катушке.

Максимальное напряжение на катушке будет достигаться при резонансной частоте контура. Резонансная частота может быть найдена по формуле:

ω = 1 / sqrt(LC)

где ω - угловая частота, L - индуктивность катушки, C - ёмкость конденсатора.

Подставляя значения L и r, получаем:

ω = sqrt((1 / LC) - (r^2) / (4L^2))

При резонансной частоте напряжение на катушке будет максимальным и равно:

Uк = Q * Uс

где Q - добротность контура, определяемая как:

Q = ωL / r

Uс - напряжение на конденсаторе, которое можно найти по формуле:

Uс = Uвх / (1 + jQ(ωC - 1/ωC))

где Uвх - напряжение на входе контура (равное 220 В в данном случае).

Для нахождения значения C, при котором Uк будет максимальным, необходимо найти максимум амплитуды напряжения на катушке по C. Это можно сделать, дифференцируя Uк по C и приравнивая производную к нулю:

dUк/dC = 0

После некоторых преобразований получаем:

C = 1 / (ω^2L)

Подставляя значения ω и L, находим:

C = 1 / (2π)^2 * 1 Гн ≈ 25,4 нФ

При этом значении ёмкости контура будет достигнуто максимальное напряжение на катушке:

Uк = Q * Uс ≈ 63,7 В

Напряжение на конденсаторе можно также вычислить, подставив найденное значение C в выражение для Uс:

Uс ≈ 156,2 В

Векторная диаграмма напряжений на контуре при этом значении ёмкости будет иметь следующий вид:

Copy code
   |

Uвх --o--|----|----Uк C L | | === === | | |___| Uс

где Uвх - напряжение на входе контура, Uк - напряжение на кату