Question

протон и электрон с одинаковой скоростью 2 мм/с влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. нарисуйте траектории их движения и определите радиусы окружностей, по котором они будут двигаться и периоды их вращения

Answer 1

Начальная скорость:

$v_o = 2$ мм/с $= 2*10^{-3}$ м/с ;


Протон заряжен положительно, а электрон – отрицательно, это означает, что действующая на них сила Лоренца, перпендикулярная к скорости будет направлена в противоположные стороны, по отношению к скорости.

Для определённости, договоримся, что мы считаем, что заданное магнитное поле направлено от нас, т.е. входит в плоскость видимого изображения чертежа.

Сила Лоренца:

$F_{\Labda} = e B v$ ;

В обоих случаях – это будет одна и та же величина, поскольку модули зарядов электрона и протона – равны, и отличаются лишь знаком. Если (для определённости) обе частицы влетают в магнитное поле снизу, то согласно Маховичкам Максвелла, сила Лоренца, действующая на протон, будет направлена по левую руку от вектора скорости и перпендикулярно ему.

Аналогично, сила Лоренца, действующая на электрон, будет направлена по правую руку от вектора скорости и перпендикулярно ему.

Центростремительное ускорение, которое получат частицы:

$a_{np} = F_{\Labda} / m_p = e B v / m_p$ ;

и

$a_{ne} = F_{\Labda} / m_e = e B v / m_e$ ;

где $m_p$ и $m_e$ – массы протона и электрона соответственно.

Радиусы вращения частиц в магнитном поле найдём из кинематики вращательного движения:

$v^2 / R = a_n$ ;

$R_p = v^2 / a_{np} = \frac{ m_p v^2 }{ e B v }$ ;


Итак: радиус вращения протона:

$R_p = \frac{ m_p v }{ e B }$ ;

А электрона соответственно:

$R_e = \frac{ m_e v }{ e B }$ ;


Длина каждой окружности, это $L_o = 2 \pi R$ , значит период обращения частиц:

$T = L_o / v = 2 \pi R / v$ ,

соответственно для протона это: $T_p = 2 \pi \frac{ m_p }{ e B }$ ,

а для электрона это: $T_e = 2 \pi \frac{ m_e }{ e B }$ ;


Масса протона: $m_p =$ 0.001 кг / $N_A = 10^{-3}$ кг / $6*10^{23}$ ;

$m_p = 1.67*10^{-27}$ кг.


Масса электрона: $m_e = m_p / 1837$ ;

$m_e = 9.1*10^{-31}$ кг.


Заряд протона равен заряду электрона $e = 1.6*10^{-19}$ Кл.


Значение индукции магнитного поля в задаче не указано, так что для определённости будем считать, что индукция составляет 1 наноТесла, т.е. $B = 1$ нТл $= 10^{-9}$ Тл.


Тогда получится, что:

радиус вращения протона: $R_p = \frac{ 1.66*10^{-27} 2*10^{-3} }{ 1.6*10^{-19} * 10^{-9} }$ ;

$R_p = 2.09 * 10^{-2}$ м $= 21$ мм ;

А электрона соответственно: $R_e = 0.011$ мм ; в 1837 раз меньше.

Период обращения протона будет: $T_p = 2 \pi \frac{ 1.66*10^{-27} }{ 1.6^{-19} * 10^{-9} } = 0.66 c$ ,

а для электрона это: $T_e = 0.0036 c = 3.6$ мс ;


При увеличения значений индукции магнитного поля, как легко понять – радиусы и периоды будет уменьшаться во столько же раз, и, наоборот, при уменьшении магнитного поля – радиусы и периоды будут увеличиваться во столько же раз.

Answer 2

Известно, что протон и электрон влетают в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и имеют одинаковую скорость 2 мм/с. Поэтому мы можем использовать формулу для радиуса орбиты, которая выглядит следующим образом:

r = mv / (qB)

где r - радиус орбиты, m - масса частицы, v - скорость, q - заряд частицы, B - магнитная индукция.

Для электрона заряд равен -1.6 * 10^-19 Кл, а для протона заряд равен +1.6 * 10^-19 Кл. Масса протона равна 1.67 * 10^-27 кг, а масса электрона равна 9.11 * 10^-31 кг. Магнитная индукция не указана, поэтому мы не можем точно рассчитать радиусы орбит.

Теперь рассмотрим траектории движения частиц. Так как они движутся в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, то они будут двигаться по окружностям. Траектория протона будет иметь больший радиус, чем траектория электрона, так как протон имеет большую массу.

Период вращения частиц в магнитном поле можно рассчитать с помощью формулы:

T = 2πm / (qB)

где T - период, m - масса частицы, q - заряд частицы, B - магнитная индукция.

Опять же, мы не можем рассчитать периоды вращения, не зная магнитную индукцию.

Таким образом, чтобы более точно определить радиусы и периоды вращения частиц в магнитном поле, необходимо знать значение магнитной индукции.