Question

По горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси скользит шарик массой 100 г, находящийся на конце нити длиной 1,5 м . Частота вращения 2 Гц . Внешняя сила , укорачивая нить ,совершила работу 25 Дж. Какова конечная длина нити ? С какой частотой будет вращаться шарик ?

Answer 1

Смотри решение во вложении

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

Пусть L будет начальной длиной нити, а L' - конечной длиной нити. Момент инерции I шарика, скользящего вокруг вертикальной оси, можно выразить как I = m * r^2, где m - масса шарика и r - радиус (длина нити). Так как скорость шарика равномерная, то момент импульса J = I * ω = m * r^2 * ω, где ω - угловая скорость шарика. Работа внешней силы W, укорачивая нить, равна разности моментов импульса ΔJ = J - J0, где J0 - начальный момент импульса шарика.

Работа W, совершенная внешней силой, равна приращению кинетической энергии шарика: W = ΔK = K - K0, где K0 - начальная кинетическая энергия шарика, K - конечная кинетическая энергия шарика.

Мы знаем, что K = 1/2 * m * v^2, где v - линейная скорость шарика. Так как скорость шарика связана с угловой скоростью ω формулой v = r * ω, то K = 1/2 * m * (r * ω)^2 = 1/2 * m * r^2 * ω^2.

Подставляя это в уравнение для работы внешней силы, получим: W = 1/2 * m * r^2 * ω^2 - 1/2 * m * r^2 * ω0^2, где ω0 - начальная угловая скорость шарика.

Теперь мы можем выразить конечную угловую скорость шарика ω: W = 1/2 * m * r^2 * ω^2 - 1/2 * m * r^2 * ω0^2, 25 Дж = 1/2 * 0.1 кг * r^2 * ω^2 - 1/2 * 0.1 кг * r^2 * (0)^2, 25 Дж = 1/2 * 0.1 кг * r^2 * ω^2, 50 = r^2 * ω^2.

Также у нас есть информация о частоте вращения шарика, которая равна 2 Гц, то есть ω = 2π * f, где f - частота вращения. Подставляя это значение в уравнение, получаем: 50 = r^2 * (2π * f)^2, 50