Question

Найти электроёмкость металлического шара радиусом R = 15 см, если он покрыт слоем диэлектрика с проницаемостью ∈ = 4 толщиной d = 5 см. Пожалуйста, опишите подробно

Answer 1

Шар металлический, следовательно, он является проводником. Ёмкость проводника, как известно, есть отношение заряда Q, сообщённого проводнику, к его потенциалу Ф.

С = Q/Ф.

Потенциал поверхности шара равен сумме работ по переносу единичного положительного заряда с поверхности проводника на поверхность диэлектрика, и с поверхности диэлектрика - на бесконечность (в теоретической физике за нулевой уровень потенциала принимается бесконечность):

Ф = k*((Q/(∈*r) - Q/(∈*R)) +  Q/R) = k*Q*(R + r*(∈ - 1))/(∈*r*R)

Подставляем это значение потенциала в выражение для ёмкости:

С = Q/k*Q*(R + r*(∈ - 1))/(∈*r*R) = ∈*r*R/k*(R + r*(∈ - 1)) = 4*0,15*0,20/9*10^9(0,20 + 0,15*(4 - 1)) = 20,5*10^(-12)Ф = 20,5пФ.

Ответ: 20,5 пФ.

Answer 2

Для расчёта электроёмкости металлического шара, покрытого слоем диэлектрика, нужно использовать формулу для электроёмкости конденсатора сферической формы. Эта формула имеет вид:

C = (4πε₀εR) / (1 - (R - d)/R),

где: C - электроёмкость конденсатора, π - математическая константа "пи" (примерное значение 3.14159), ε₀ - электрическая постоянная (примерное значение 8.854 × 10^(-12) Ф/м), ε - проницаемость диэлектрика, R - радиус металлического шара, d - толщина слоя диэлектрика.

Для решения данной задачи, нам даны следующие значения: R = 15 см (или 0.15 м), ε = 4, d = 5 см (или 0.05 м).

Подставим данные значения в формулу электроёмкости:

C = (4πε₀εR) / (1 - (R - d)/R) = (4π × 8.854 × 10^(-12) Ф/м × 4 × 0.15 м) / (1 - (0.15 м - 0.05 м)/0.15 м) ≈ (4 × 3.14159 × 8.854 × 10^(-12) Ф/м × 4 × 0.15 м) / (1 - (0.15 м - 0.05 м)/0.15 м) ≈ (1.130973355 × 10^(-10) Ф/м × 0.6 м) / (1 - 0.066666667) ≈ (6.78584013 × 10^(-11) Ф) / 0.933333333 ≈ 7.26781829 × 10^(-11) Ф.

Таким образом, электроёмкость металлического шара радиусом R = 15 см, покрытого слоем диэлектрика толщиной d = 5 см и с проницаемостью ∈ = 4, составляет примерно 7.26781829 × 10^(-11) Ф (фарад).