Question

Решите уравнение 1) (2x-3)³-4x² (2x-9)=0

Answer 1

Чтобы решить данное уравнение, начнем с его раскрытия и упрощения:

(1 + (2x - 3)³) - 4x² + (2x - 9) = 0

Раскроем куб внутри скобки:

(1 + 8x³ - 36x² + 54x - 27) - 4x² + 2x - 9 = 0

Теперь объединим все подобные слагаемые:

8x³ - 40x² + 56x - 35 = 0

Уравнение стало кубическим. Чтобы решить кубическое уравнение, мы можем использовать различные методы, включая методы подстановки, графический метод или метод Ньютона. Однако, в данном случае, уравнение не имеет простого рационального корня, поэтому мы воспользуемся численными методами для приближенного нахождения корней.

Использование численного метода для приближенного решения

Мы можем использовать метод Ньютона для приближенного решения уравнения. Этот метод позволяет нам найти корень функции, используя приближенное начальное значение и итеративные шаги.

1. Начнем с выбора начального значения x₀, например, x₀ = 1. 2. Применим итеративный шаг метода Ньютона:

xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ) / f'(xₙ)

где f(x) - уравнение, а f'(x) - его производная.

В нашем случае, уравнение f(x) = 8x³ - 40x² + 56x - 35, а его производная f'(x) = 24x² - 80x + 56.

Выполним несколько итераций, чтобы найти приближенное значение корня:

Итерация 1: x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

Подставим значения и рассчитаем:

x₁ = 1 - (8(1)³ - 40(1)² + 56(1) - 35) / (24(1)² - 80(1) + 56)

x₁ ≈ 1 - (8 - 40 + 56 - 35) / (24 - 80 + 56)

x₁ ≈ 1 - (−11) / 0

Здесь мы получили деление на ноль, поэтому нужно выбрать другое начальное приближение.

Итерация 2: x₂ = x₁ - f(x₁) / f'(x₁)

Выберем новое начальное значение, например, x₀ = 2, и выполним итерацию:

x₂ = 2 - (8(2)³ - 40(2)² + 56(2) - 35) / (24(2)² - 80(2) + 56)

x₂ ≈ 2 - (64 - 160 + 112 - 35) / (96 - 160 + 56)

x₂ ≈ 2 - (−19) / (-8)

x₂ ≈ 2 + 19 / 8

x₂ ≈ 2 + 2.375

x₂ ≈ 4.375

Получили приближенное значение корня x ≈ 4.375.

Проверка приближенного решения

Чтобы проверить, является ли x ≈ 4.375 решением уравнения, мы можем подставить его обратно в уравнение и проверить, будет ли левая часть равна правой:

Левая часть уравнения: 8(4.375)³ - 40(4.375)² + 56(4.375) - 35

Правая часть уравнения: 0

Если левая и правая части равны, то x ≈ 4.375 является решением уравнения.

Подставим значения и рассчитаем:

Левая часть уравнения: 8(4.375)³ - 40(4.375)² + 56(4.375) - 35 ≈ 0.985

Правая часть уравнения: