Question

Две команды играют в футбол до 10 голов (втреча прекращается, как только какая-то команда забьет 10 голов). В процессе игры заполняется протокол, в который вносится счет после каждого изменения счета, например 0:0, 0:1, 0:2, 1:2, ..., 5:10. Сколько разных протоколов может получиться?

Answer 1

счет 0:0 будет в любом случае и не учитывается в протоколах, тогда первый член геом прогрессии будет 2, т.к. сначала возможно только 2 варианта исхода после первого забитого мяча  0:1 и 1:0.

Имеем геометрическую прогрессию со знаменателем прогрессии 3 и первым членом 2,

тогда 10 член геом прогрессии равен:

А10=А1*Q^(n-1)=2*3^(10-1)=2*3^9=2*19683=39366

Ответ: 39366 протоколов.

Думаю, так будет единственно верно, поскольку решение методом сочетаний, которым решаются комбинаторные задачи здесь не подходит. Все дело в том, что при комбинаторном решении не учитывается очередность счета, т.е. сначала может быть 3:5, потом 7:0, потом 10:2 и т.д., что лишает смысла условие. Поскольку это футбольный матч, то невозможно, что бы счет развивался по иному сценарию, как то:

                          1:0      0:1

                     2:0     1:1      0:2

               3:0     2:1      1:2      0:3

         4:0      3:1     2:2      1:3      0:4

При игре до 1 забитого мяча имеем всего 2 протокола - 0:1 и 1:0

При игре до 2 забитых мячей имеем:

1) 1:0 2:0

2) 1:0 1:1 2:1

3) 1:0 1:1 1:2

4) 0:1 0:2

5) 0:1 1:1 0:2

6) 0:1 1:1 2:1   -  6 протоколов, тогда, решая комбинаторно получим что:

 

$Cx_{4}^2=\frac{4!}{2!}=\frac{1*2*3*4}{2}=\frac{24}{2}=12$

 

Как видим - получили 12 возможных сочетаний НЕ УЧИТЫВАЯ ОЧЕРЕДНОСТЬ !!!

А протоколо-то возможных 6 ...

Далее решается ТОЛЬКО ПРОГРЕССИЕЙ, см. решение выше.

 

Решение комбинаторикой (результат - 184756) справедливо для подобной задачи НЕ УЧИТЫВАЮЩЕЙ ОЧЕРЕДНОСТЬ СОБЫТИЙ. Например:

 

Сколько разных флагов, состоящих из 10 полос может получиться из 20 разных цветов?

 

Мои поклоны Вашему преподавателю...

 

 

 

Answer 2

Для определения количества различных протоколов, которые могут получиться, мы можем использовать комбинаторику.

Изначально счет 0:0. Команда, которая забьет первый гол, может быть любой из двух команд, поэтому у нас есть 2 варианта: 1:0 или 0:1.

Затем, когда счет 1:0 или 0:1, команда, которая забивает следующий гол, может быть любой из двух команд. Таким образом, у нас есть 2 варианта: 2:0, 1:1, 0:2.

Продолжая эту логику, каждый раз, когда счет изменяется, у нас есть два варианта для команды, которая забивает следующий гол.

Таким образом, общее количество различных протоколов можно определить как 2^10, потому что каждый раз мы имеем два варианта для команды, которая забивает очередной гол, и игра продолжается до 10 голов.

2^10 = 1024

Таким образом, может получиться 1024 различных протокола игры.