Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3+6x^2+7 на отрезке [-1;3]

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

y(-1) = -1+6+7=12

y(3) = 3³+6*3²+7 = 27+54+7 = 88

y' = 3x²+12x = 3x*(x+4)

3x*(x+4)=0

x=0

x=-4 - не входит в отрезок

у(0) = 7

Answer 2

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^3 + 6x^2 + 7 \) на отрезке \([-1, 3]\) мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления.

1. Находим производную функции: \[ y = x^3 + 6x^2 + 7 \] \[ y' = 3x^2 + 12x \]

2. Находим критические точки: Для этого приравниваем производную к нулю и находим значения \( x \). \[ 3x^2 + 12x = 0 \] \[ 3x(x + 4) = 0 \] Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

3. Анализируем значения функции на концах отрезка: Подставляем \( x = -1 \) и \( x = 3 \) в исходную функцию, чтобы найти значения \( y \).

4. Находим значение функции в критических точках: Подставляем \( x = 0 \) и \( x = -4 \) в исходную функцию, чтобы найти значения \( y \).

5. Сравниваем полученные значения: Из полученных значений выбираем наименьшее, которое и будет минимальным значением функции на отрезке \([-1, 3]\).

Давайте посчитаем значения функции в указанных точках, чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 + 6x^2 + 7 \) на отрезке \([-1, 3]\).