Question

Sin4x+sin7x=cos4x+cos7x В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах) умноженный на 11

Answer 1

Ответ:

-270

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin{4x}+\sin{7x}=\cos{4x}+\cos{7x}\\2\sin{\dfrac{11x}{2}}\cos{\dfrac{3x}{2}}=2\cos{\dfrac{11x}{2}}\cos{\dfrac{3x}{2}}|:2\\\sin{\dfrac{11x}{2}}\cos{\dfrac{3x}{2}}-\cos{\dfrac{11x}{2}}\cos{\dfrac{3x}{2}}=0\\\cos{\dfrac{3x}{2}}\left(\sin{\dfrac{11x}{2}}-\cos{\dfrac{11x}{2}}\right)=0$

$\cos{\dfrac{3x}{2}}=0\Leftrightarrow\dfrac{3x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3}$. При k = 0 $x=\dfrac{\pi}{3}>0$, при k = -1 $x=-\dfrac{\pi}{3}$ — наибольший отрицательный корень в данной серии.

$\sin{\dfrac{11x}{2}}-\cos{\dfrac{11x}{2}}=0\Leftrightarrow\sin{\dfrac{11x}{2}}=\cos{\dfrac{11x}{2}}\Leftrightarrow tg\ \dfrac{11x}{2}=1\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \dfrac{11x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{22}+\dfrac{2\pi n}{11}$

При n = 0 $x=\dfrac{\pi}{22}>0$, при n = -1 $x=-\dfrac{3\pi}{22}$ — наибольший отрицательный корень в данной серии.

Так как $-\dfrac{\pi}{3}$, наибольший отрицательный корень уравнения — $-\dfrac{3\pi}{22}$. В ответ запишем $11\cdot\left(-\dfrac{3\pi}{22}\right)=-\dfrac{3\pi}{2}=-270^{\circ}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение sin(4x) + sin(7x) = cos(4x) + cos(7x) и найти наибольший отрицательный корень в градусах, умноженный на 11, мы можем использовать алгебраические методы. Давайте рассмотрим каждый шаг подробнее.

Приведение косинусов и синусов к общему знаменателю

Для начала, мы можем привести тригонометрические функции к общему знаменателю, чтобы упростить уравнение. В данном случае, общий знаменатель будет 1, так как синус и косинус имеют одинаковые знаменатели.

Уравнение примет вид: sin(4x) + sin(7x) - cos(4x) - cos(7x) = 0

Применение тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить уравнение. В данном случае, мы можем использовать тождество sin(a) - sin(b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2) и тождество cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2).

Применяя эти тождества, мы получим: 2sin((4x-7x)/2)cos((4x+7x)/2) - 2sin((4x+7x)/2)sin((4x-7x)/2) = 0

Упрощая выражение, получим: 2sin(-x/2)cos(11x/2) - 2sin(11x/2)sin(-x/2) = 0

Упрощение и факторизация

Мы можем продолжить упрощение уравнения, факторизуя его. В данном случае, мы можем вынести общий множитель 2 и далее упростить:

sin(-x/2)(cos(11x/2) - sin(11x/2)) = 0

Решение уравнения

Теперь мы можем решить полученное уравнение. Для этого нам необходимо найти значения x, при которых sin(-x/2) = 0 или cos(11x/2) - sin(11x/2) = 0.

1. Когда sin(-x/2) = 0, мы имеем -x/2 = kπ, где k - целое число. Решая уравнение, получим x = -2kπ.

2. Когда cos(11x/2) - sin(11x/2) = 0, мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(a) - sin(a) = √2sin(a + π/4). Таким образом, получаем 11x/2 + π/4 = mπ/2, где m - целое число. Решая уравнение, получим x = (2mπ - π)/11.

Нахождение наибольшего отрицательного корня

Теперь, чтобы найти наибольший отрицательный корень в градусах, мы должны найти значение x, которое максимально и отрицательно. Для этого, мы можем подставить различные значения k и m в полученные выражения и найти наибольшее отрицательное значение для x.

Подставляя k = 1 в x = -2kπ, получим x = -2π. Подставляя m = 1 в x = (2mπ - π)/11, получим x = (2π - π)/11 = π/11.

Итак, наибольший отрицательный корень в градусах, умноженный на 11, равен -2π * 11 = -22π или π/11 * 11 = π.