Question

Подскажите, пожалуйста, Чему эквивалентен гиперболический косинус? Я знаю формулу chx - 1 ~ x^2/2 Могу ли я написать, что он эквивалентен x^2/2 + 1?

Answer 1

Я видел такую запись, но она не выдерживает никакой критики. Эквивалентность используется для сравнения бесконечно малых или бесконечно больших функций.

Answer 2

Гиперболический косинус — это одна из гиперболических функций, которая выражается через экспоненту следующим образом: ch(x) = (e^x + e^-x)/2. Гиперболический косинус тесно связан с тригонометрическим косинусом, так как ch(ix) = cos(x), где i — мнимая единица.

Гиперболический косинус имеет ряд свойств и соотношений, например:

- ch(x) ≥ 1 для любого x. - ch(x) = cosh(-x) для любого x. - ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y) для любых x и y. - ch^2(x) - sh^2(x) = 1 для любого x. - ch(x) = 1 + x^2/2 + x^4/24 + x^6/720 + ....

Вы правы, что ch(x) - 1 ~ x^2/2 при малых x, то есть когда x → 0. Это следует из разложения гиперболического косинуса в степенной ряд. Однако, это не значит, что ch(x) эквивалентен x^2/2 + 1 для всех x, так как при больших x разность ch(x) - 1 - x^2/2 становится значительной. Например, при x = 10, ch(x) - 1 - x^2/2 ≈ 11012. На графике видно, что функции ch(x) и x^2/2 + 1 сильно отличаются при больших x.

Надеюсь, это помогло вам понять гиперболический косинус лучше.