Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x², y = x + 2

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$S_{max}=\dfrac{1}{2}\times 16=8$

$S_{min}=\dfrac{1}{2}$

$S_{1}=\int\limits^0_{-1}{x^2} \, dx =\dfrac{1}{3}$

$S_2=\int\limits^2_0 {x^2} \, dx =\dfrac{8}{3}$

$S_0=S_{max}-\left(S_{min}+S_{1}+S_{2}\right)=\dfrac{9}{2}$

Задание выполнено!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = x + 2, необходимо найти точки пересечения этих двух функций и найти интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения. Приравняв уравнения, получим:

x² = x + 2

Перенесем все в одну сторону:

x² - x - 2 = 0

Данное уравнение можно разложить на множители:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь найдем площадь фигуры, используя интеграл. Интеграл от разности функций y = x² и y = x + 2 можно записать следующим образом:

S = ∫[a,b] (x + 2 - x²) dx,

где [a, b] - интервал, на котором находятся точки пересечения.

Подставляя значения точек пересечения, получаем:

S = ∫[-1, 2] (x + 2 - x²) dx.

Вычисляя этот интеграл, получим:

S = [x²/2 + 2x - x³/3] [-1, 2],

S = [(2²/2 + 2*2 - 2³/3) - ((-1)²/2 + 2*(-1) - (-1)³/3)],

S = [(2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3)],

S = [10/3 - (1/2 - 2 + 1/3)],

S = [10/3 - (3/6 - 12/6 + 2/6)],

S = [10/3 - (-7/6)],

S = [10/3 + 7/6],

S = (20 + 7)/6,

S = 27/6,

S = 9/2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = x + 2, равна 9/2 или 4.5 квадратных единицы.