Question

Помогите найти экстремум z=3xy-x^2-4y^2+4x-6y-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1.  частные производные первого порядка

$\displaystyle z'_x=-2x+3y+4$

$\displaystyle z'_y=3x-8y-6$

2. системa уравнений

$\displaystyle \left \{ {{-2x+3y+4=0} \atop {3x-8y-6=0}} \right. \left \{ {{\displaystyle -\frac{7}{3}y=0\hfill } \atop {x=\displaystyle \frac{8}{3} y+2}} \right. \left \{ {{y=0} \atop {x=2}} \right.$      

одна критическая точка M(2;0)

3.  частные производные второго порядка

$\displaystyle A=z''_{xx(2;0)}=-2$

$\displaystyle C=z''_{yy(2;0)}=-8$

$\displaystyle B=z''_{xy(2;0)}=3$

AC -B² = 7 > 0 и  A <0  ⇒ в точке (2;0) функция достигает максимума

ответ

в точке M(2;0) функция достигает максимума z(2;0) = 3

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z = 3xy - x^2 - 4y^2 + 4x - 6y - 1, необходимо взять частные производные по x и y и приравнять их к нулю.

Частная производная по x: ∂z/∂x = 3y - 2x + 4

Частная производная по y: ∂z/∂y = 3x - 8y - 6

Приравниваем обе производные к нулю и решаем систему уравнений:

3y - 2x + 4 = 0 (1) 3x - 8y - 6 = 0 (2)

Из уравнения (1) получаем: 3y = 2x - 4 y = (2/3)x - 4/3

Подставляем y в уравнение (2): 3x - 8((2/3)x - 4/3) - 6 = 0 3x - (16/3)x + 32/3 - 6 = 0 (1/3)x + 2/3 = 0 x = -2

Подставляем найденное значение x в уравнение (1): 3y - 2(-2) + 4 = 0 3y + 4 + 4 = 0 3y = -8 y = -8/3

Таким образом, найдены значения x = -2 и y = -8/3, в которых функция имеет экстремум.

Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, необходимо взять вторые производные функции z по x и y и посмотреть их знаки.

Вторая производная по x: ∂²z/∂x² = -2

Вторая производная по y: ∂²z/∂y² = -8

Обе вторые производные отрицательны, что означает, что найденные значения являются максимумом функции z = 3xy - x^2 - 4y^2 + 4x - 6y - 1.

Таким образом, экстремум функции z достигается в точке (-2, -8/3) и равен -35/3.