Question

В одной урне 6 белых и 4 черных шара, в другой-3 белых и 7 черных шаров. Из каждой урны вынули наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) оба шара одного цвета; в) хотя бы один шар белый.

Answer 1

Ответ:

Вероятность того, что:

а) оба шара белые равна 0,18;

б) оба шара одного цвета равна 0,46;

в) хотя бы один шар белый равна 0,72.

Пошаговое объяснение:

а) Пусть событие А - из первой урны достают белый шар, событие В - из второй урны достают белый шар. Вычислим вероятность этих событий.

$\displaystyle P(A)=\frac{6}{10}=0,6$

$\displaystyle P(B)=\frac{3}{10} =0,3$

События А и В независимые, так как наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

Пусть событие С - из обоих урн достали по белому шару.

Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(C) = P(A) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18

б) Пусть событие D - из первой урны достают черный шар, событие F - из второй урны достают черный шар. Вычислим вероятность этих событий.

$\displaystyle P(D)=\frac{4}{10}=0,4$

$\displaystyle P(F)=\frac{7}{10}=0,7$

События D и F независимые. Пусть событие G - из обоих урн достали по черному шару. Тогда:

P(G) = P(D) · P(F) = 0,4 · 0,7 = 0,28

События C и G несовместимы, так как могут быть вынуты либо два белых шара, либо два черных.

Найдем вероятность того, что вынутые шары одного цвета. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Пусть событие К - из двух урн достали по шару одного цвета, либо оба белые, либо оба черные.

P(K) = P(C) + P(G) = 0,18 + 0,28 = 0,46

в) Нужно найти вероятность того, что хотя бы один шар белый. Какие могут быть возможные варианты вынутых шаров из двух урн: два белых, белый с первой урны и черный со второй, и наоборот - черный и белый, два черных. Все эти события, кроме вынимания двух черных шаров, способствуют наступлению искомого события. Пусть событие М - из двух урн достают хотя бы один белый шар. Значит:

P(M) = 1 - P(G) = 1 - 0,28 = 0,72

Answer 2

Определение вероятности

Вероятность события можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Для случая с извлечением шаров из урн вероятности будут зависеть от числа шаров различного цвета в каждой урне.

Решение:

а) Оба шара белые:

Для нахождения вероятности того, что оба шара будут белые, нужно сложить вероятности извлечения двух белых шаров из каждой урны и умножить их.

Урна 1: 6 белых, 4 черных Урна 2: 3 белых, 7 черных

Вероятность извлечения двух белых шаров из первой урны: P(2 белых из урны 1) = (6/10) * (5/9)

Вероятность извлечения двух белых шаров из второй урны: P(2 белых из урны 2) = (3/10) * (2/9)

Теперь умножим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность извлечения двух белых шаров из обеих урн: P(оба шара белые) = P(2 белых из урны 1) * P(2 белых из урны 2)

б) Оба шара одного цвета:

Вероятность того, что оба шара будут одного цвета, можно найти как сумму вероятностей извлечения двух белых и двух черных шаров из обеих урн.

Вероятность извлечения двух черных шаров из каждой урны: P(2 черных из урны 1) = (4/10) * (3/9) P(2 черных из урны 2) = (7/10) * (6/9)

Теперь сложим вероятности извлечения двух белых и двух черных шаров: P(оба шара одного цвета) = P(2 белых из урны 1) * P(2 белых из урны 2) + P(2 черных из урны 1) * P(2 черных из урны 2)

в) Хотя бы один шар белый:

Вероятность того, что хотя бы один шар будет белый, можно найти как 1 минус вероятность того, что оба шара будут черные.

Вероятность извлечения двух черных шаров из обеих урн: P(2 черных) = P(2 черных из урны 1) * P(2 черных из урны 2)

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы один шар будет белый: P(хотя бы один шар белый) = 1 - P(2 черных)

Результат:

Теперь, когда мы нашли вероятности для каждого случая, мы можем рассчитать значения и предоставить ответ на вопрос.