Question

Двугранный угол при основании правильной шестиугольной пирамиды равен 60°, а апофема 4 см. Найдите полную поверхность пирамиды. ​

Answer 1

решение на фотографии))))

Answer 2

Для нахождения полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, нужно использовать формулу, которая учитывает боковую поверхность и основание пирамиды.

Формула для полной поверхности правильной пирамиды выглядит следующим образом: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]

Для начала найдем боковую поверхность пирамиды. Боковая поверхность пирамиды вычисляется по формуле: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема} \]

Для шестиугольной пирамиды периметр основания равен шести умножить на длину стороны \(P = 6 \times \text{длина стороны}\). Если угол при основании равен 60°, то можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения длины стороны основания. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности \(R\) шестиугольника, а апофема связана с радиусом описанной окружности следующим образом: \(a = R \times \sqrt{3}\).

Известно, что апофема \(a = 4\) см, поэтому можем найти радиус описанной окружности \(R\): \[ 4 = R \times \sqrt{3} \] \[ R = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Теперь, найдем длину стороны основания: \[ \text{Длина стороны} = R = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Периметр основания: \[ P = 6 \times \text{Длина стороны} = 6 \times \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Теперь можно найти боковую поверхность: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times P \times \text{апофема} \]

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \left(6 \times \frac{4}{\sqrt{3}}\right) \times 4 \]

А теперь, чтобы найти площадь основания шестиугольной пирамиды, воспользуемся формулой для площади правильного шестиугольника: \[ S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (\text{Длина стороны})^2 \]

\[ S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 \]

Теперь, сложим площади боковой поверхности и основания, чтобы найти полную поверхность пирамиды: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]