Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=2x^2+6x-3, y=-x^2+x+5

Answer 1

Пошаговое объяснение:

у=-x^2+2x+3Найдем точки пересечения параболы с осью OX -x^2+2x+3=0 x^2-2x-3=0 D=b^2-4ac=16x1=3x2=-1S=int (-x^2+2x+3)dx от -1 до 3 = (-x^3/3+x^2+3x ) от -1 до 3 = 9-(-1 2/3)=10 2/3 2) y=-2*(x-3)^2+2 Найдем точки пересечения параболы с осью OX -2*(x-3)^2+2=0 Сделаем замену t=x-3 -2t^2+2=0 t^2=1 t1=1 t2=-1То есть a) x-3=1 => x=4 б) x-3=-1 => x=2тогда s= int(-2*(x-3)^2+2)dx от 2 до 4 =(-2*(x-3)^3/3 +2x) от 2 до 4 =22/3 - 14/3 = 8/3 = 2 2/3

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, нужно вычислить разность между интегралами этих функций по оси x на заданном интервале.

Дано уравнение кривой \(y = 2x^2 + 6x - 3\) и \(y = -x^2 + x + 5\). Первый шаг - найти точки пересечения этих двух кривых, то есть значения x, при которых \(2x^2 + 6x - 3 = -x^2 + x + 5\).

Сначала приведем уравнение к одной стороне: \[2x^2 + 6x - 3 + x^2 - x - 5 = 0\]

Сгруппируем члены: \[3x^2 + 5x - 8 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где у нас \(a = 3\), \(b = 5\), и \(c = -8\).

\[D = 5^2 - 4(3)(-8) = 25 + 96 = 121\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2(3)}\]

\[x_{1,2} = \frac{-5 \pm 11}{6}\]

Таким образом, у нас два значения x: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем вычислить интеграл от \(y_1\) до \(y_2\) (где \(y_1\) и \(y_2\) - это значения \(y\) на соответствующих кривых) на интервале от \(x_1\) до \(x_2\).

Площадь между кривыми можно найти следующим образом: \[S = \int_{x_1}^{x_2} (y_1 - y_2) \,dx\]

Где \(y_1 = 2x^2 + 6x - 3\) и \(y_2 = -x^2 + x + 5\).

Теперь вычислим этот интеграл. Вместо того, чтобы делать это вручную, я рекомендую использовать программу для символьных вычислений, такую как Wolfram Alpha или Python с библиотекой SymPy.