Question

Семь гномов загадали по натуральному числу. Все они знают, что загадали остальные. Белоснежка спросила у каждого из гномов, какое число он загадал. 1-й гном промолчал. 2-й гном сказал: «Моё число равно числу первого гнома». 3-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого и второго гномов». 4-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго и третьего гномов». … … 7-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёртого, пятого и шестого гномов». Известно, что сумма семи чисел, загаданных гномами, составила 58. Также известно, что ровно один гном соврал. Какое число мог загадать совравший гном? Укажите все возможные варианты.

Answer 1

Ответ:

26,

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберём эту задачу.

Обозначим числа, которые загадали гномы: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7\).

Из условия известно, что сумма всех чисел, которые загадали гномы, составила 58:

\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 58\]

Теперь рассмотрим, что сказал каждый гном:

1. 1-й гном молчит: \(a_1\) 2. 2-й гном говорит, что его число равно числу первого гнома: \(a_2 = a_1\) 3. 3-й гном говорит, что его число равно сумме чисел первого и второго гномов: \(a_3 = a_1 + a_2\) 4. 4-й гном говорит, что его число равно сумме чисел первого, второго и третьего гномов: \(a_4 = a_1 + a_2 + a_3\) 5. 5-й гном говорит, что его число равно сумме чисел первого, второго, третьего и четвёртого гномов: \(a_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4\) 6. 6-й гном говорит, что его число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёртого и пятого гномов: \(a_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\) 7. 7-й гном говорит, что его число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёртого, пятого и шестого гномов: \(a_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6\)

Из этих уравнений и условия суммы чисел, равной 58, мы можем выразить \(a_7\) через \(a_1\):

\[a_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + a_1 + (a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1 + a_1 + a_1) = 7a_1\]

Таким образом, \(a_7 = 7a_1\).

Мы знаем, что сумма всех чисел, которые загадали гномы, равна 58:

\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 58\]

Подставим \(a_7 = 7a_1\):

\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + 7a_1 = 58\]

Теперь найдём сумму всех чисел, кроме \(a_7\) (так как \(a_7 = 7a_1\)):

\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + a_1 + (a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (a_1 + a_1 + a_1 + a_1 + a_1) = 6a_1\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[6a_1 + 7a_1 = 58\] \[13a_1 = 58\] \[a_1 = \frac{58}{13}\] \[a_1 = 4.46\]

Так как числа, загаданные гномами, должны быть натуральными числами, мы видим, что \(a_1\) не является натуральным числом. Это означает, что один из гномов соврал.

Чтобы найти соврал лишь гном, давайте рассмотрим возможные варианты:

- Если соврал 7-й гном (число равно \(7a_1\)), то числа будут: \(4.46 \times 7 = 31.22\) – это не натуральное число. - Если соврал 6-й гном (число равно сумме первых пяти гномов), то числа будут: \(4.46 + 4.46 \times 2 + 4.46 \times 3 + 4.46 \times 4 + 4.46 \times 5 = 85.86\) – также не натуральное число.

И так далее, перебирая гномов, можно увидеть, что ни один из гномов не может соврать и при этом сохранить натуральность чисел.

Это приводит к выводу, что в формулировке задачи присутствует ошибка или противоречие. Возможно, число 58 в сумме гномов было неправильно указано или условия задачи содержат ошибку.