Question

Знайти интеграл 1)∫e5-xdx 2)∫cos (7x)dx ​​

Answer 1

Ответ:

1. ∫e5-xdx

∫5e-xdx

∫5edx - ∫xdx

5ex - x(2)/2

5ex - x(2)/2 + C

2.∫cos (7x)dx

∫(cos (t)/7) * dt

1/7 * ∫cos(t) * dt

1/7 * sin(t)

1/7 * sin(7x)

sin(7x)/7

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим оба интеграла поочередно:

1) \(\int e^{5-x} \,dx\)

Для нахождения этого интеграла, мы можем воспользоваться правилом замены. Пусть \(u = 5 - x\), тогда \(\frac{du}{dx} = -1 \Rightarrow dx = -du\). Подставим это в интеграл:

\(\int e^{5-x} \,dx = -\int e^u \,du\)

Теперь проинтегрируем по \(u\):

\(-\int e^u \,du = -e^u + C\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\(-e^u + C = -e^{5-x} + C\)

Итак, ответ:

\(\int e^{5-x} \,dx = -e^{5-x} + C\)

2) \(\int \cos(7x) \,dx\)

Этот интеграл представляет собой интеграл от косинуса с аргументом, умноженным на константу. Для таких интегралов мы используем обратную замену. Пусть \(u = 7x\), тогда \(\frac{du}{dx} = 7 \Rightarrow dx = \frac{1}{7}du\). Подставим это в интеграл:

\(\int \cos(7x) \,dx = \frac{1}{7} \int \cos(u) \,du\)

Теперь проинтегрируем по \(u\):

\(\frac{1}{7} \int \cos(u) \,du = \frac{1}{7} \sin(u) + C\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\(\frac{1}{7} \sin(u) + C = \frac{1}{7} \sin(7x) + C\)

Итак, ответ:

\(\int \cos(7x) \,dx = \frac{1}{7} \sin(7x) + C\)

Где \(C\) - константа интегрирования.