Question

Різниця четвертого і другого членів геометричної прогресії дорівнює 30, а різниця четвертого й третього членів дорівнює 24. Знайдіть суму п’яти перших членів прогресії.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

b4 - b2 = 30   =>     b1q³ - b1q = 30       =>  b1q(q² - 1) = 30

b4 - b3 = 24    =>    b1q³ - b1q² = 24    =>  b1q²(q -1) = 24

(b1q²(q - 1))/ b1q(q -1)(q + 1) =24/30

q/q+1 = 4/5

5q = 4(q + 1)

5q = 4q + 4

q = 4

Подставим q  и найдем b1

b1q(q² - 1) = 30

b1 * 4( 4² - 1) = 30

b1 * 60 = 30

b1 = 30 : 60

b1 = 0,5

Знайдемо суму п’яти перших членів прогресії

Sn = (b1(1 -q^n))/1 - q

S5 = (0,5 ( 1 - 4^5))/1 - 4 = -511,5/(-3) = 170,5

Answer 2

Для вирішення цього завдання потрібно використовувати формули для геометричних прогресій.

Знайдемо різницю прогресії

Нехай перший член прогресії дорівнює a, а різниця прогресії дорівнює r.

За умовою завдання, різниця між четвертим і другим членами прогресії дорівнює 30: a + 3r - (a + r) = 30 2r = 30 r = 15

Знайдемо другий член прогресії

Знаючи різницю прогресії (r) і другий член прогресії (a), можемо знайти другий член прогресії за формулою: a2 = a + r = a + 15

Знайдемо третій член прогресії

Знаючи другий член прогресії (a2) і різницю прогресії (r), можемо знайти третій член прогресії за формулою: a3 = a2 + r = a2 + 15

Знайдемо суму перших п'яти членів прогресії

Сума перших n членів геометричної прогресії може бути знайдена за формулою: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Знаючи перший член прогресії (a), різницю прогресії (r) і кількість членів прогресії (n), можемо знайти суму перших п'яти членів прогресії: S5 = a * (1 - r^5) / (1 - r)

Обчислення

Знаючи, що різниця між четвертим і третім членами прогресії дорівнює 24: a + 2r - (a2 + r) = 24 15 - a2 = 24 a2 = -9

Тепер, коли ми знаємо значення різниці (r) і другого члену прогресії (a2), ми можемо обчислити значення першого члену прогресії (a): a = a2 - r = -9 - 15 = -24

Тепер, знаючи перший член прогресії (a) і різницю прогресії (r), ми можемо обчислити суму перших п'яти членів прогресії (S5): S5 = a * (1 - r^5) / (1 - r) S5 = -24 * (1 - 15^5) / (1 - 15)

Отже, сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5.