Question

ПОЖАЛУСТА МЛЯМУХА.. перших п'яти членів геометричної прогресії (bп), якщо різниця третього і другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 30.

Answer 1

Задача:

Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если разность третьего и второго ее членов равна 6, а разность четвертого и второго членов равна 30.

Решение:

$b_{2}=b_{1}q;\:\: b_{3}=b_{1}q^2; \:\: b_{4}=b_{1}q^3; \:\: b_{5}=b_{1}q^4$

Составим систему:

$></p> <p>Выразим из системы q:</p> <p><img src=$

Найдем значение первого члена геометрической прогрессии:

$></p> <p>Найдем сумму первых пяти членов прогрессии:</p> <p><img src=$

Ответ:

Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 170,5.

_________________________________

* q — знаменатель геометрической прогрессии

 b₁ — 1-й член геометрической прогрессии

 b₂, b₂,... — 2-й, 3-й и т.д. члены геометрической прогрессии

 Sₙ — сумма n первых членов геометрической прогрессии

_________________________________

$b_1=\frac{1}{2} \\\\b_2=b_1q^1 = \frac{1}{2}\cdot 4^1=\frac{4}{2} = 2 \\\\b_3=b_1q^2 = \frac{1}{2}\cdot 4^2=\frac{16}{2} = 8 \\\\b_4=b_1q^3 = \frac{1}{2}\cdot 4^3=\frac{64}{2} = 32 \\\\b_5=b_1q^4 = \frac{1}{2}\cdot 4^4=\frac{256}{2} = 128 \\\\b_6=b_1q^5 = \frac{1}{2}\cdot 4^5=\frac{1024}{2} =512 \\\\...$

Answer 2

Для того щоб знайти перші п'ять членів геометричної прогресії, давайте позначимо перший член прогресії як b1, а знаменник - як q (це стала множника, який використовується для отримання наступних членів прогресії). Тоді:

Перший член: b1 Другий член: b2 = b1 * q Третій член: b3 = b2 * q = b1 * q^2 Четвертий член: b4 = b3 * q = b1 * q^3 П'ятий член: b5 = b4 * q = b1 * q^4

Тепер у нас є дві інформації про різницю між певними членами:

1. Різниця між третім і другим членами дорівнює 6: b3 - b2 = 6

2. Різниця між четвертим і другим членами дорівнює 30: b4 - b2 = 30

Тепер давайте використаємо вирази для членів прогресії, щоб вирішити ці дві рівняння:

1. b3 - b2 = 6 (b1 * q^2) - (b1 * q) = 6 b1 * (q^2 - q) = 6 b1 = 6 / (q^2 - q)

2. b4 - b2 = 30 (b1 * q^3) - (b1 * q) = 30 b1 * (q^3 - q) = 30 b1 = 30 / (q^3 - q)

Оскільки обидві формули виражають b1 через q, ми можемо прирівняти їх:

6 / (q^2 - q) = 30 / (q^3 - q)

Тепер помножимо обидві сторони на (q^2 - q) * (q^3 - q) для того, щоб знищити знаменники:

6 * (q^3 - q) = 30 * (q^2 - q)

Розкриємо дужки і спростимо:

6q^3 - 6q = 30q^2 - 30q

Прирівняємо все до нуля, а потім розв'яжемо рівняння:

6q^3 - 30q^2 = 0

Факторизуємо спільний множник q^2:

6q^2(q - 5) = 0

Тепер ми маємо два розв'язки:

1. q^2 = 0 => q = 0 (не враховуємо, оскільки геометрична прогресія не може мати нульовий знаменник).
2. q - 5 = 0 => q = 5

Таким чином, знаменник прогресії q = 5.

Тепер ми можемо знайти перший член b1 за однією з наших попередніх формул:

b1 = 6 / (q^2 - q) b1 = 6 / (5^2 - 5) b1 = 6 / (25 - 5) b1 = 6 / 20 b1 = 0.3

Тепер, маючи значення b1 і q, ми можемо знайти перші п'ять членів прогресії:

b1 = 0.3 b2 = b1 * q = 0.3 * 5 = 1.5 b3 = b1 * q^2 = 0.3 * 5^2 = 0.3 * 25 = 7.5 b4 = b1 * q^3 = 0.3 * 5^3 = 0.3 * 125 = 37.5 b5 = b1 * q^4 = 0.3 * 5^4 = 0.3 * 625 = 187.5

Таким чином, перші п'ять членів геометричної прогресії будуть: 0.3, 1.5, 7.5, 37.5, 187.5.