Question

Знайдіть точки екстремумів функції у = х3 + х2 - х +10

Answer 1

Ответ:

x = (-1) - это точка максимума функции.

x = (1/3) - это точка минимума функции.

Пошаговое объяснение:

Ищем критические точки

Первая производная производная

y' = 3x²+2x-1

3x²+2x-1 = 0

х₁ = -1

х₂ = 1/3

Смотрим, какая из точек минимум а какая максимум.

Вторая производная

y'' = 6x+2

Значение второй производной в критических точках

y''(-1) = -4 < 0  - значит точка x = (-1) - это точка максимума функции.

y''(1/3) = 4 > 0  - значит точка x = (1/3) - это точка минимума функции.

Answer 2

Щоб знайти точки екстремуму функції \(f(x) = x^3 + x^2 - x + 10\), спочатку знайдемо її похідну та вирішимо рівняння \(f'(x) = 0\).

1. Знайдемо похідну \(f'(x)\): \[f'(x) = 3x^2 + 2x - 1.\]

2. Поставимо \(f'(x)\) рівним нулю та вирішимо рівняння: \[3x^2 + 2x - 1 = 0.\]

Ми можемо використати квадратне рівняння або використати методи факторизації або квадратного кореня для його розв'язання.

Знайдемо дискримінант: \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16.\]

Дискримінант додатній, тому у нас є два різних розв'язки для \(x\): \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}.\]

Отже, ми отримаємо два значення \(x\): \[x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3},\] \[x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1.\]

3. Тепер, знаючи значення \(x_1\) та \(x_2\), ми можемо знайти відповідні значення функції \(f(x)\) в цих точках.

\[f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 10,\]

\[f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + 1 + 10.\]

Розрахунки покажуть, чи ці точки є мінімумами чи максимумами. Якщо \(f'(\frac{1}{3}) > 0\) та \(f''(-1) < 0\), то \(x = \frac{1}{3}\) є мінімумом, а \(x = -1\) є максимумом. Якщо знаки будуть обрані навпаки, то відбувається навпаки.